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XVIII JORNADAS DEL SI-IDM

Castellón, 19-21 de abril, 2002


Nueva versión-17-abril
Mesa redonda: Confrontación de marcos teóricos
Ponentes: Ángel Contreras de la Fuente. Universidad de Jaén.

Vicenç Font Moll. Universidad de Barcelona.


Título: ¿Se aprende por medio de los cambios entre los sistemas de representación semiótica?

INTRODUCCIÓN

En los foros de discusión sobre la investigación en Didáctica de la Matemática han sido numerosas las ocasiones en que las distintas interpretaciones sobre los sistemas de representación de los objetos matemáticos y su relación con la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas han ocupado el núcleo central del debate. En el seno del PME, desde 1989 ha existido un “Working Group on Representations”, que fue coordinado por Claude Janvier, dentro del cual los términos representación y sistema de representación han sido ampliamente discutidos bajo perspectivas de tipo cognitivo. En el IV Simposio de la SEIEM, celebrado en Huelva en septiembre de 2000, uno de los Seminarios (coordinado por el profesor Rico) versó sobre la representación y la comprensión en Educación Matemática y en él se presentaron documentos para debate de las profesoras Bosch, Sánchez y Romero. Todo esto muestra la actualidad y el interés por las representaciones en la investigación en Didáctica de la Matemática.


En Goldin y Janvier (1998) se resumen diversas interpretaciones sobre la representación y los sistemas de representación, los cuales se relacionan con la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas. Se considera que ambos términos incluyen los aspectos siguientes:
“1. Una situación física externa estructurada, o conjunto estructurado de situaciones del entorno físico, que pueden describirse o verse matemáticamente como un cuerpo de ideas matemáticas;
2. Un cuerpo lingüístico, o sistema de lenguaje, donde se plantea o discute un problema matemático, centrándose en sus estructuras características sintácticas y semánticas;
3. Un constructo formal, o conjunto de constructos, que pueden representar situaciones por medio de símbolos o sistemas de símbolos, generalmente obedeciendo a ciertos axiomas o conforme a definiciones precisas incluyendo constructos matemáticos que pueden representar aspectos de otros constructos matemáticos;
4. Una configuración cognitiva, individual o interna, o un complejo sistema de tales configuraciones, inferido de la conducta o la introspección, que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y de la resolución de problemas.” (pp. 1-2)
Las transformaciones entre sistemas de representación implican en mayor o menor medida estos cuatro aspectos. En este trabajo partimos de la hipòtesis, asumida por muchos otros investigadores, de que las transformaciones entre los sistemas de representación de los objetos matemáticos pueden facilitar la emergencia de dichos objetos en los estudiantes. Por tanto, en este trabajo se analizarán y contrastarán diversos enfoques teóricos en los que se describe el papel de las transformaciones entre sistemas de representación en cuanto al aprendizaje de las Matemáticas.

DINAMISMO EN Y ENTRE SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

En la Plenary Address de la 24 ª Conferencia del PME Raymond Duval (2000) afirmaba: “Aprender Matemáticas consiste en el desarrollo de coordinaciones progresivas entre variados sistemas semióticos de representación.” (p. 65), y más adelante: “Aprender Matemáticas es aprender a discriminar y coordinar los sistemas semióticos de representación para llegar a ser capaces de transformar cualquier representación.” (p. 67); finalizaba su intervención diciendo: “Un amplio campo de investigación se abre ante ustedes” (p. 68). Esto muestra no sólo la importancia que se otorga en Didáctica de la Matemática a los sistemas productivos de representación de los objetos matemáticos, sino la gran actualidad que tienen actualmente las investigaciones de esta naturaleza. Ahora bien, el acercamiento a los sistemas de representación depende del enfoque teórico de que se trate En Font (2001) se puede encontrar una panorámica amplia de dichos enfoques. Por tanto, creemos conveniente efectuar un análisis de algunos de estas aproximaciones teóricas utilizando una metodología de aproximación, partiendo de perspectivas más generales (teoría de Confrey), pasando por otras más enfocadas hacia las transformaciones entre sistemas de representación semiótica y que buscan dar operatividad a dichas transformaciones (teoría de Duval), hasta desembocar en los postulados relacionados con la teoría de las funciones semióticas (TFS).



La teoría revisada del desarrollo intelectual

Muchos investigadores, sobre todo a partir del redescubrimiento de la obra de Vygotsky, han realizado propuestas de integración en las que, sin renunciar al papel predominante de la psicología, han contemplado en cierta manera el "giro social". Entre las propuestas más potentes y elaboradas hay que destacar la de Confrey (1995). Esta investigadora, inspirada en los enfoques de Piaget y Vygotsky, propone lo que denomina “teoría revisada del desarrollo intelectual”: “Cuando consideramos las teorías de Piaget y Vygotsky, vemos aspectos en los que sus puntos de vista entran en conflicto y otros donde se complementan. Apoyándonos en sus complementariedades e intentando considerar sus conflictos, propondré un esbozo de una teoría revisada del desarrollo intelectual.” (p. 23).


Confrey fundamenta esta teoría en tres metáforas: la de la biología evolutiva, en la que el ser humano se ve como un ente que se autorregula por medio de acciones de resolución de problemas que reestablecen el equilibrio; la de la construcción del conocimiento a través del trabajo y la producción, en la que la inclusión de las herramientas semióticas como herramientas psicológicas conducen a sugerir que dicho trabajo y producción crean la base de la consciencia; la tercera, que busca la síntesis de las dos metáforas anteriores es la de la reproducción: “...la Educación puede verse tanto como un proceso de crianza como un proceso de preparación para el trabajo.” (p. 27).
En general podemos decir que los intentos de síntesis entre la perspectiva individual y la social como la que propone Confrey implican una teoría del aprendizaje de tipo constructiva que pone el énfasis en la importancia del lenguaje y de la interacción social. Con relación a la enseñanza ponen el énfasis en el papel que juega el contexto y la interacción social en la construcción social realizada en el aula; y también en la importancia que tienen: los valores, las emociones, la discusión, la colaboración y la negociación de significados compartidos, la semiosis, etc. en esta construcción.
Con relación a la abstracción los intentos de síntesis entre la perspectiva piagetiana y la vygostkyana tienen que integrar el papel de la acción y el punto de vista de Vigostki que considera que los sistemas de signos son herramientas psicológicas útiles para el pensamiento ya que juega un papel mediático análogo al de las herramientas en el trabajo. Con relación a la abstración Confrey sostiene que la abstracción matemática tiene dos raíces: una epistemológica y, otra, enmarcada en la opresión política y el elitismo, y propone que para que la abstracción no caiga en el absolutismo hay que establecer, entre otros, una epistemología de las representaciones múltiples, proponiendo tres posibles caminos de solución: el reconocimiento de:
1) Una dialéctica genuina entre la actividad práctica y el uso de signos.
2) El papel de la acción en el acto de la abstracción.
3) El valor de las formas múltiples de representación. Es decir, se propone una epistemología de las representaciones múltiples, dado que: “lo que señala el progreso intelectual es la habilidad para moverse entre representaciones.2 (p. 38)
Como podemos observar, según Confrey, los cambios entre representaciones constituyen un importante motor del aprendizaje matemático.

El pensamiento Matemático Avanzado


Los puntos de vista cognitivos hacen una opción muy definida por los enfoques centrados en el individuo y por la utilización de elementos de análisis desarrollados por la psicología. Este tipo de estudios, al estudiar la subjetividad de alumnos y profesores, son cuestionados por los partidarios de considerar la dimensión social en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Una de las críticas más importantes se basa en el hecho de que la tradición psicologista no tiene suficientemente en cuenta el aspecto social. Las críticas a las investigaciones de tipo psicológico realizadas desde el punto de vista interpretativo o desde la teoría crítica se basan en que la afirmación: las acciones humanas tienen significado, implica muchas más cosas que procesos mentales ocultos en las personas, ya que esta afirmación requiere tener presente el contexto social dentro del cual adquieren sentido estas acciones. La crítica que realiza la teoría de las situacions o la teoría antropológica, aunque en algún caso también destaca el olvido del aspecto social, se centra fundamentalment en el olvido de "lo matemático" entre las causas que este tipo de investigaciones contempla.

El enfoque cognitivo ha sido asumido por muchas investigaciones en didáctica de las matemáticas, las cuales se han propuesto investigar los esquemas mentales de los alumnos o de los profesores. Si bien hay muchas líneas de investigación dentro de este enfoque destaca la línea de investigación que se denomina "Pensamiento Matemático Avanzado" en la que sobresalen la teoría "APOS" y la teoría de la "Definición del Concepto y la Imagen del Concepto".


Para Dreyfus (1991), cuyas ideas se encuadran en el AMT (Advanced Mathematical Thinking), la comprensión es proceso que se produce en la mente del estudiante, siendo la generalización y la síntesis los procesos involucrados en la abstracción, y señala: “Un hecho que distingue un pensamiento elemental de uno avanzado es la complejidad y la forma en se tratan ambos. Los conceptos avanzados son probablemente muy complejos. La distinción está en cómo se controle esta complejidad. Los procesos potentes son aquellos que nos permiten este control, en particular la abstracción y la representación. Por medio de ambos, nos podemos desplazar de un nivel a otro y, de esta forma, controlar la complejidad.” (p. 26).
Este investigador afirma que la representación y la abstracción son procesos complementarios que van en direcciones opuestas, ya que “por una parte es frecuente que abstraigamos un concepto a partir de algunas representaciones; por otra, las representaciones son siempre representaciones de un concepto más abstracto” (p. 38). Dreyfus propone poner al servicio de la Didáctica de la Matemática estas complementariedades, distinguiendo diversas etapas en el aprendizaje al señalar: “Podemos observar, pues, que hay cuatro fases en los procesos de aprendizaje:
 Utilizar una única representación.
 Utilizar paralelamente varias representaciones.
 Relacionar representaciones paralelas.
 Integrar las representaciones y pasar de una a otra con facilidad.” (p. 39).
En la primera se propone partir de casos concretos en los que aparezca una única representación del concepto. En la segunda, se usan varias representaciones del mismo. Para lograr la transición desde las representaciones al objeto abstracto es fundamental establecer la conexión entre las mismas, por lo que la tercera etapa trata de establecer dicha conexión. Se espera que el alumno sea capaz de entablar las relaciones pertinentes que le conduzca a los cambios de representación y, por tanto, hacia la abstracción. Por último, en la cuarta etapa, ha de darse el proceso de integración entre dichas representaciones, lo cual supone una síntesis de los vínculos, relaciones y propiedades comunes que desemboca en el concepto abstracto. Al aplicar el concepto a situaciones concretas, se recurre a las representaciones concretas.
Como se observa, también Dreyfus desde perspectivas teóricas distintas a Confrey considera motor del aprendizaje matemático a las transformaciones entre sistemas de representación, aunque, tratando de dar operatividad a las transformaciones entre representaciones, propone una secuenciación según las cuatro fases anteriores.

La teoría APOS

Las representaciones mentales no se pueden considerar desligadas del proceso de abstracción y, más en general, de los procesos cognitivos movilizados por los contenidos matemáticos. Desde esta perspectiva, en el campo del pensamiento matemático avanzado, se han realizado diferentes investigaciones. Dubinsky (1991 y 1996) ha intentado aplicar, después de una revisión, algunas de las ideas de Piaget al pensamiento matemático avanzado. La principal dificultad que ha encontrado en este intento ha sido que la teoría de Piaget tiene su origen en la manipulación de objetos físicos, pero a medida que el nivel matemático aumenta, se hace necesario construir nuevos objetos, no físicos sino mentales, y manipularlos para construir las ideas matemáticas. Dubinsky (1996) considera que un problema importante en la educación matemática consiste en encontrar sustitutos apropiados para los objetos físicos y cree que los ordenadores se pueden utilizar para este propósito.


Dubinsky considera que, para explicar las diferencias en las conductas de los estudiantes, es necesario formular una hipótesis mentalista, ya que considera que para poder explicar y buscar soluciones a estas diferencias, es necesario desarrollar una teoría sobre los procesos mentales, que pueda explicar lo que está ocurriendo en la mente de los estudiantes: “El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder ante situaciones matemáticas problemáticas reflexionando sobre ellas en un contexto social y construyendo y reconstruyendo acciones, procesos y objetos matemáticos y organizándolos en esquemas con el fin de manejar las situaciones” (Dubinsky, 1996, pp. 32-33).
En la teoría APOS se considera que la comprensión de un concepto matemático el individuo ha de producir acciones: “transformaciones de objetos que son percibidos por el individuo como algo que, en cierta medida, es externo.” (Asiala 1996, p. 9), procesos: “construcciones internas que realizan la misma acción, pero que ahora no está necesariamente dirigida por estímulos externos.” (p. 10). A continuación, se definen objeto: “Cuando un individuo piensa en operaciones aplicadas a un proceso particular, llega a ser consciente del proceso en su totalidad, se da cuenta de que las transformaciones (ya sean acciones o procesos) pueden actuar sobre el mismo (proceso), y es capaz de construir realmente tales transformaciones, entonces está pensando en este proceso como un objeto. En este caso, decimos que los procesos se han encapsulado a un objeto.” (p. 11) y esquema, aunque se reconoce que, para este último, sólo se ha logrado un desarrollo teórico incipiente.
Podemos observar que en esta teoría, al menos implícitamente, el desarrollo de la comprensión está ligada a la transformación de objetos matemáticos por parte del sujeto, ya que estas acciones se concretan por medio de signos matemáticos.
En el marco de la teoría APOS, Cottrill y cols. (1996) y Asiala y cols. (1996, 97) estudian los constructos acción, proceso, objeto y esquema (en el primer caso para el límite y en el segundo para la derivada), por medio de los cuales tratan de modelizar cómo se desarrolla un concepto matemático en la mente del individuo, denominando descomposición genética del concepto al conjunto estructurado de dichos constructos. Esta descomposición genética se considera como una evolución en el conocimiento del sujeto, en la que distinguen cuatro partes: a) Descomposición genética preliminar del concepto; b) Estudio sobre la instrucción que se implementa; c) Revisión de la descomposición genética preliminar, a la luz del paso b; d) Discusión de cómo las observaciones influyen en los cambios que se han (o no se han) realizado. Como puede observarse, se trata de un verdadero análisis a priori.
En Cottrill y cols. (1996) se efectúa una descomposición genética del límite de una función f(x) en un punto a (una vez revisada la preliminar), que consta de los pasos siguientes:


  1. La acción de evaluar f(x) en un punto x0 muy próximo a a, o incluso igual a a.

  2. La acción de evaluar la función f(x) en unos pocos puntos, cada uno de ellos más próximo a a que el anterior.

  3. Construcción de un esquema coordinado como el siguiente:

    1. Interiorización de la acción del paso 2 para construir un proceso del dominio en el que x se aproxima a a.

    2. Construcción de un proceso del rango en el que f(x) se aproxima a L.

    3. Coordinación de (a) y (b), por medio de f(x). Es decir, la función f(x) se aplica al proceso de “x se aproxima a a”, para obtener el proceso de “f(x) se aproxima a L”.

  4. Ejecutar acciones del concepto de límite buscando, por ejemplo, límites de combinación de funciones. En este caso, el esquema del proceso se encapsula para ser un objeto.

  5. Se reconstruyen los procesos del paso 3c en términos de intervalos y desigualdades. Esto supone introducir unas estimaciones numéricas de la proximidad de la aproximación, lo que, simbólicamente, supone: y .

  6. Aplicar un esquema de cuantificación para conectar el proceso reconstruido de los pasos anteriores a fin de obtener la definición formal del límite.

  7. Se aplica una concepción completa de a situaciones específicas.

Aunque consideramos que esta descomposición genética es una útil aproximación a una modelización del aprendizaje del límite funcional, son numerosas las cuestiones que se nos plantean: Dado que las actividades que se plantean a los sujetos son con ordenador, ¿qué influencia tiene el uso del ordenador en todo el proceso?, ¿tiene verdaderamente un papel de reestructurador del conocimiento o es únicamente un amplificador cognitivo1?, ¿qué influencia puede tener el interface en todos estos procesos?, ¿vale cualquiera de éstos?, ¿se corre, o no, el peligro de un deslizamiento metadidáctico con la utilización de un interface?, y si fuera cierto que se corre un cierto peligro, ¿qué tipo de situaciones de enseñanza podrían hacer frente al mismo para evitar que el empleo de ordenador se convierta en una ilusión de transparencia? Desde un punto de vista teórico, si las investigaciones de Piaget sobre abstracción reflexionante, esquema... se realizaron con niños pequeños, ¿es legítimo trasladar tal cual esta teoría al AMT?, ¿por qué no ir más lejos, buscando aproximaciones teóricas más allá de Piaget, como por ejemplo la teoría de Pascual Leone?


A pesar de que en estos primeros artículos no se abordan aspectos relacionados con los sistemas de representación de los conceptos tratados, en posteriores trabajos se estudian éstos. Sin embargo, consideramos que no quedan suficientemente explícitos dichos sistemas de representación y, sobre todo no queda muy claro cómo coordinarlos. Por otra parte, no se analizan los posibles conflictos semióticos inherentes a los significados del concepto, como por ejemplo, “creer que existe límite de una función en un punto porque la diferencia entre los sucesivos valores de la variable dependiente va disminuyendo”, lo que conduce al individuo a graves confusiones conceptuales como la confundir convergencia con disminución de una distancia2. Es posible que se pueda argumentar que cuando estos conflictos surgen en la práctica se resuelven (incluso puede que sean comentados a lo largo de la evolución de la descomposición genética), pero estimamos que su importancia y contemplación como verdaderos fenómenos didácticos exigen una teorización de los mismos. Para corroborar esto, podemos observar que en los pasos de la descomposición genética (tanto en la preliminar como en la revisada) no se alude teóricamente al importante problema de la algebrización del límite, el cual se basa en el conflicto semiótico: “creer que el límite de una función en un punto es el valor de la función en dicho punto”. Tampoco se alude a otro conflicto, sutil pero no por ello menos importante, que es el de “creer que el entorno abierto ha de ser siempre simétrico”, el cual desconcierta al aluno cuando se enfrenta, por ejemplo, a la función: f(x)=2x, si x<1; f(x)=x+1, si x>1, y ha de calcular el límite en x=1.
En trabajos más recientes sobre esta teoría, Baker, Cooley y Trigueros (2000), se ha profundizado en la idea de esquema definiendo el esquema eficiente: “una colección coherente de acciones, procesos, objetos y otros esquemas, previamente construidos, que son coordinados y sintetizados por el individuo para formar estructuras utilizadas en situaciones problemas. Una persona demuestra la coherencia del esquema al discernir lo que está contenido en el esquema y lo que no.” (p. 558).
En el desarrollo del esquema estos investigadores consideran tres niveles:
El intra nivel, en el que: “los objetos se analizan en términos de sus propiedades. Las explicaciones en este nivel son locales y particulares.” (p. 558). Aunque estas explicaciones no las vemos muy claras, los autores dan un ejemplo que, entendemos, clarifica el significado del nivel: “el estudiante interpreta la derivada como la pendiente de la tangente en un punto específico, demostrando esta interpretación con el crecimiento/decrecimiento de los intervalos de la función o, alternativamente, resolviendo un problema de razón de cambio. Sin embargo, el estudiante es incapaz de establecer la conexión entre esos dos problemas.” (p. 559).
Se observa que en este nivel el sujeto no es capaz de coordinar el cambio entre los dos sistemas de representación de la derivada (el gráfico y el de la razón de cambio).
El inter nivel, en el que: “el estudiante es consciente de las relaciones presentes y puede deducir desde una operación inicial, una vez que se comprende, otras operaciones que están implicadas en ella o que puedan coordinarse con operaciones similares.” (p. 559). Siguiendo con el ejemplo de la derivada, en el inter nivel: “el alumno coordina la noción de derivada como la pendiente de la recta tangente con la idea de derivada como razón de cambio en un punto dado. “ (p. 559).
Vemos que en este nivel sí se da la coordinación entre dos sistemas de representación de la derivada, el gráfico y el de razón de cambio. Sin embargo, no son únicamente dos los sistemas de representación de la derivada de una función, pueden aparecer también el numérico o tabular y el asociado al límite. Es decir, se plantea la coordinación de los dos sistemas como autosuficiente
El trans nivel, en el que: “Por medio de la síntesis de las transformaciones del nivel inter, el estudiante construye una conciencia de la constitución del esquema, pudiendo percibir nuevas propiedades globales que eran inaccesibles en otros niveles.” (p. 559). En el caso de la derivada: “el alumno es capaz de agrupar todas las derivadas como pendientes o razones de cambio de una función en un punto dado y reconocen que todas las situaciones que atañen a la variación están relacionadas con el concepto de derivada.” (p. 559).
Se observa que en este nivel se plantea la abstracción del concepto (en el sentido de extracción de los invariantes). Es decir, la formación del esquema. Por tanto, en la teoría APOS es en el desarrollo del esquema donde puede apreciarse con nitidez el papel de las transformaciones entre sistemas de representación como elementos fundamentales en la construcción del conocimiento matemático. Además, se propone la síntesis como el proceso del aprendizaje que coordina los sistemas de representación.




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