Universidad de Los Andes


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A finales del siglo XII, la república de Pisa era una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de África. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, fué educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

De su deseo de poner en orden todo cuanto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber Abaci, la primera summa matemática de la Edad Media.

En él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:



1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....

que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:



Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.

En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.

Veamos con detalle estos números: 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....

 donde cada número (como Fibonacci lo hizo notar) resulta de sumar los dos que le anteceden. Al cabo de doce meses tendremos 377 pares de conejos.



Su fórmula general es una función recursiva de término general

Esta sucesión ha tenido intrigado a matemáticos durante siglos, en parte a causa de su tendencia a presentarse en los lugares más inapropiados y por el hecho de que el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo 1.618039....

Aparte de que esta sucesión tiene varias propiedades interesantes, como que se puede formar cualquier número natural mediante la suma de términos de la sucesión, sin que ninguno se repita, lo más curioso de esta sucesión es su presencia en la naturaleza. La sucesión de Fibonacci está muy ligado a la vida y estos hechos lo demuestran:

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

En la mano humana también se encuentra esta recurrencia, la longitud del metacarpo es la suma de las dos falanges proximales y la longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales.

El número de pétalos de una flor es generalmente un término de Fibonacci. Hay flores con 2 pétalos, 3, 5, 8, 13, 21, 34, pero muy rara vez es un número que no esté en esta sucesión.


La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

La relación entre las divisiones vertebrales.

La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.

En las espirales de los girasoles.

En las espirales de las piñas.

La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C..

En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.

El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.

Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.

En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý.

Como cosa curiosa de la sucesión de Fibonacci podemos destacar que el número de Fibonacci F(n+1) da el número de maneras para fichas de dominó 2 x 1 de cubrir un tablero de ajedrez de medidas 2 x n.

Juego del 11

Se refiere a un truco de cálculo relámpago muy poco conocido.

Vuélvase de espaldas, y pídale a un amigo que escriba un par de enteros positivos cualesquiera ( uno debajo del otro ), que lo sume y obtenga un tercero, que debe escribir debajo del segundo; que sume los dos últimos números y obtenga un cuarto, prosiguiendo de esta forma hasta tener una columna de diez números.”

Es decir, ha de escribir los primeros diez números de la sucesión de Fibonacci, donde cada término es suma de los dos que le preceden, exceptuando los dos primeros, que son arbitrarios. Hecho esto, usted se vuelve, traza una raya por debajo de los diez sumandos, e inmediatamente empieza a escribir la suma.

La clave consiste en multiplicar por 11el séptimo de los números a sumar, operación que de manera fácil se realiza mentalmente. Supongamos que el séptimo número sea 928. Así al multiplicar 11 por 928 obtenemos la cifra 10.208 la cual asombrosamente es el resultado que se obtiene al sumar los 10 términos conseguidos anteriormente por el compañero. Pareciera una acto de magia, claro que ninguna persona en la clase en ese momento sabe cuál es el truco, por decirlo de esa manera, creando así gran asombro e interés en los alumnos por descubrir cómo hizo el profesor para saber cuál sería el resultado.

Martin Gardner pregunta: ¿Sabrá el lector demostrar que la suma de los diez primeros números de una sucesión de Fibonacci es siempre 11 veces el séptimo término? Notemos así, cómo este famoso autor a través de la lúdica nos conduce a conocer una de las tantas propiedades de dicha sucesión captando la atención de la clase de forma amena, entretenida y divertida donde el estudiante pone su máximo interés por descubrir cuál es el secreto y seguramente captará, entenderá y aprenderá mucho mejor este capítulo y quizás descubra por sí mismo cuál es la demostración de esta propiedad.



Distribución Normal

La Campana de Gauss es la representación gráfica de la ecuación matemática que corresponde a una distribución normal.



La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente:

Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas.

Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.

La función de densidad está dada por:

donde (Μ) es la media y (sigma) es la desviación estándar ( es la varianza).

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:



  • Caracteres morfológicos de individuos

  • Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco

  • Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos

  • Caracteres psicológicos como el cociente intelectual

  • Nivel de ruido en Telecomunicaciones

  • Errores cometidos al medir ciertas magnitudes

  • Valores estadísticos muestrales como la media

Cabe destacar que se pretende que los alumnos digieran de manera más rápida nuevos conceptos y éste se obtiene presentándoles distintas aplicaciones de estos nuevos objetos matemáticos, así como la importancia y aplicabilidad en la vida real, incentivándolos de esta manera a posteriores estudios.




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