La importancia del uso de los materiales concretos en las matematicas



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DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL MODELO DE COMPETENCIAS

CENTRADAS EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA


Ludwing J. Salazar Guerrero Hugo Bahena Román

Francisco Vega Hernández


INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS

WALTER CROSS BUCHANAN
EDITORIAL PATRIA CULTURAL
Casio Computer Co. LTD.
MEXICO

Resumen

En este trabajo presentamos una propuesta metodológica en la que nos apoyamos para la enseñanza de la geometría analítica, lo fundamental es el diseño y la creación de un software que desarrollamos en nuestro centro de trabajo, en su primera etapa consideramos los conceptos básicos: distancia entre dos puntos, determinantes, área de un triángulo dado, división de un segmento en dos partes iguales (punto medio) y división de un segmento dado en tres partes iguales (trisección). Tomando en cuenta los conflictos que vive el alumno en su aprendizaje y basados en la experiencia de más de cuarenta años de impartir la materia, consideramos que la dificultad que vive el alumno en desarrollar las formas algorítmicas es el poder realizar ejercicios que dependen de su capacidad de aprendizaje y como saber si el resultado es correcto o no al termino del ejercicio, lo que le permitiría retroalimentar su proceso, pero se vuelve más importante cuando la solución del ejercicio no es correcta ¿Cómo lo resuelvo? y es cuando surgen obstáculos en el aprendizaje de muchos de nuestros alumnos.


Palabra clave: Actividades centradas en el aprendizaje, Modelo de competencias, Geometría analítica.
Problemática
La problemática encontrada en un curso.
Al realizar una encuesta con profesores de matemáticas en diferentes foros, se detectó que coincidían con la siguiente problemática:

-El tiempo juega un papel muy importante, en muchas ocasiones se convierte en un obstáculo para cubrir completamente el programa de estudios. Cuando se logra desarrollar el 100% de los objetivos programáticos, se tiene que sacrificar profundidad, así como la resolución de problemas y ejercicios de algunos temas expuestos en el pizarrón.

-El profesor explica algún tema, apoyándose en sus apuntes que va escribiendo en el pizarrón, con frecuencia se observa el conflicto que vive el alumno, para decidir entre poner atención o escribir, si opta por escribir, tendrá que hacerlo aprisa, porque cuando él está escribiendo algo, el profesor ya está explicando otras cosas; resultando de esta situación, que cuando el estudiante quiere repasar sus notas, ¡No las entiende!, Ya que en la mayoría de los casos tienen errores que no pueden detectar (cambio de signo, falta algún paréntesis, omisión de algunas expresiones, etc.).

-Es común observar que el profesor no pasa a sus alumnos (si acaso uno que otro) a resolver ejercicios en el pizarrón, aduciendo que se "pierde mucho tiempo", lo cual puede ser muy lógico en virtud de la falta de bases matemáticas de éste por lo ya expuesto.

-Las Matemáticas surgen por las necesidades de la vida cotidiana, que a través del tiempo se han desarrollado hasta formar un inmenso sistema de variadas y extensas disciplinas. Sirven y apoyan a las demás ciencias como así misma, para el conocimiento y dominio de la naturaleza.

-El alto nivel de abstracción que caracteriza a las Matemáticas propicia que el estudio de sus ramas no sea de fácil acceso. Reflejo de esta situación, es el rechazo de esta ciencia por parte de los estudiantes que la llegan a considerar aburrida, inservible, y los conceptos les parecen irreales, artificiales, etc.


Propuesta

La alternativa es una diferente forma de aprendizaje que se desarrolla dentro de un salón de clase, proponemos cambiar el ambiente de trabajo formulando actividades que le faciliten al alumno desarrollarse plenamente tanto en forma individual como grupal. Es una alternativa que combina el uso de un libro con las Tecnologías de la Información y la Comunicación,


-El libro: Como fuente de información, contempla los contenidos programáticos que el maestro va a escribir en el pizarrón: teoría, ejemplos, ejercicios, problemas y actividades que se desean desarrollar. En sí, favorece la organización y planificación de las actividades dentro del aula porque el conocimiento se presenta en forma estructurada, de lo particular a lo general. En él se ha plasmado todo lo el alumno debe de copiar (imagine la perdida de tiempo que se tiene en esta actividad), el tiempo ahorrado se dedica a su aprendizaje porque debe de leer, discutir y escribir, realizar sus reportes, elaborar un resumen de lo que considera lo más importante, entre otras actividades.

-Ejemplos: Los ejemplos son situaciones matemáticas cuya solución algorítmica es comprensible para el alumno, los ejemplos propuestos en el libro están presentados en forma gradual, de algoritmos sencillos a difíciles. En el desarrollo que debe de seguir el alumno, la solución de cada ejemplo asocia datos iniciales con lo que se busca, los alumnos trabajan y discuten en equipos el algoritmo y el resultado.


Ejercicios: Los ejercicios iniciales son idénticos a los ejemplos realizados del tipo algorítmico, y, además se consideran diferentes situaciones, que propician un aprendizaje que parte de lo sencillo de lo sencillo a un mayor grado de dificultad. En el libro se presentan ejercicios para resolverlos en clase (actividad grupal) o de tarea (actividad grupal o individual). Es importante que recordemos un cuestionamiento de los alumnos, “Si, el maestro sólo resuelve los ejercicios fáciles y nos pone los difíciles”, surgen aquí las preguntas ¿qué es lo fácil? y ¿qué es lo difícil para el alumno?, la respuesta puede ser lo conocido, porque se le encuentra solución inmediata y de fácil comprensión, y lo desconocido, lo que se propone al alumno para que en la búsqueda de la solución, ponga en juego su creatividad.
Problemas: En el libro se considera un problema a una situación de la vida real a la que se enfrenta un individuo o un grupo, y en la búsqueda de la solución se requiere de la creatividad para plantear estrategias lógicas que conduzcan a lo adecuado. Se sugiere que una vez definidas cuidadosamente las condiciones iniciales del problema, se establezcan las estrategias de las posibles soluciones generales que el alumno conciba, tendrá que escoger una entre varias posibles, las más frecuentes son: Ensayo error, Algoritmo y Heurística. Después de discutir la solución en equipos, se discute la solución en general en el grupo, esto permite que el alumno observe los diferentes planteamientos en la solución de éstos, propiciando el intercambio de ideas y el aprendizaje sea socializado.
Software.-Veamos cómo se realizo este software, empezaremos por el de conocimientos ´previos el cual nos permite realizar un repaso de los productos notables y la factorización, en la primera pantalla tenemos la identificación del programa:
SOFTWARE EDUCATIVO
L U D W I N G
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
B I E N V E N I D O
2010-ver 0.1 Oprime cualquier tecla para continuar
La segunda nos da cierta información de los datos del autor y recibe los datos del alumno.
México D. F. 13 junio de 2011
Este software es complemento del libro

TITULO: GEOMETTRIA ANALITICA

AUTOR: LUDWING J. SALAZAR

EDITORIAL: PUBLICACIONES CULTURALES

CORREO ELECTRONICO juegosmatematicos@hotmail.com
Programas protegidos por el derecho de autor

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

TECLEA LO QUE SE TE PIDE
ALUMNO:
NUMERO DE LISTA:
GRUPO:
La tercera pantalla nos permite elegir por medio de menú a la carta el tema que deseamos trabaja

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION LUDWING


1) POTENCIAS Y RAICES

2) ADIVINA DOS NUMEROS

3) PRODUCTOS NOTABLES

4) FACTORIZACION

5) MISCELANEA

6) TERMINAR


ELIGE UNA OPCION:
Si el alumno elige 3 la pantalla que aparece es el tema de productos notables
PRODUCTOS LUDWING
1) MONOMIO POR POLINOMIO

2) BINOMIOS ELEVADOS AL CUADRADO

3) BINOMIOS CONJUGADOS

4) BINOMIOS CON TERMINO COMUN

5) MISCELANEA

6) REGRESAR AL MENU ANTERIOR


ELIGE UNA OPCION:
El alumno podrá elegir el tema que desea practicar, en el número 5 miscelánea el alumno realiza ejercicios de los incisos 1 al 4, esto permite poner en juego ciertas habilidades como son la identificación del producto y la regla que utiliza, lo que llamamos globalización del conocimiento.

Si el alumno elige 4 FACTORIZACION del menú principal se le presenta el siguiente menú:


FACTORIZACION LUDWING
1) FACTOR COMUN

2) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

3) DIFERENCIAS DE CUADRADOS

4) TRINOMIOS x²+ bx + c

5) TRINOMIOS ax²+ bx + c

6) DOBLE FACTORIZACION

7) MISCELANEA

8) REGRESAR AL MENU ANTERIOR


ELIGE UNA OPCION:
el docente, la dificulta que se presenta en muchos alumnos es que el docente se dedica a la parte abstracta con las dificultades que se presentan para atacar la parte geométrica.

El alumno puede elegir el tema a trabajar, cabe señalar que para utilizar este software no existe ningún tipo de problemática, le permite fácilmente navegar en ella, con ello evitamos que el alumno tenga que leer manuales, que por lo general se convertirán en un obstáculo en su aprendizaje “ahora tengo que aprender el uso de un software para aprender matemáticas” y además, si consideramos que al alumno no le es fácil globalizar el problema, se torna más complejo.


Entramos en materia, el menú básico de geometría analítica que permite que el alumno practique con elementos básicos. más los que utilizará en el desarrollo de la materia, la que se sustenta en resolver dos problemas básicos (nuevos para el alumno) dado el lugar geométrico encontrar su modelo matemático que lo represente y dado el modelo matemático encontrar el lugar geométrico, dos situaciones que se tornan sumamente complicadas para el alumno; aunque estas no lo sean para En la primera pantalla podemos elegir:
MENU BASICOS DE GEOMETRIA ANALITICA
1) Distancia entre dos puntos

2) Determinantes

3) Área del triángulo

4) Punto medio

5) División de un segmento en tres partes iguales

6) Problemas

7) Examen

8) Terminar


ELIGE UNA OPCION:
En el punto número uno se presentan problemas con el siguiente formato:
A( 93 , 71 ) y B( 10 , 92 )

¿La distancia entre los dos puntos es?

Después de dos resultados erróneos se presenta.

A( 93 , 71 ) y B( 10 , 92 )


¿La distancia entre los dos puntos es?
MALOS 1 S O L U C I O N BUENOS 0
d(A, B) = Raíz[( 93 - 10 )² + ( 71 - 92 )²]
d(A, B) = Raíz[( 83 )² + (-21 )²]
d(A, B) = Raíz[ 6889 + 441 ]
d(A, B) = Raíz[ 7330 ]
d(A, B) = 85.61542

¿Deseas otro ejercicio s/n ? 0 : 1 : 18.53

La solución que se presenta contiene un marcador, que permite que el alumno controle el número de ejercicios que realiza, esta situación, por las investigaciones que hemos realizado se convierte en un reto o competencia para el alumno, ganarle a la máquina, estableciendo una forma lúdica de trabajo.
El desarrollo del ejercicio la realiza el docente utilizando un proyector para impartir su clase, logrando una mejor comprensión del tema. Recordemos que el ambiente de trabajo ha modificado al entorno del alumno, una vez que se logra la comprensión, el alumno inicia su proceso de aprendizaje verificando si la actividad realizada es o no correcta.

En su libro de texto se enmarcan otras actividades utilizando el graficador Winplot , al alumno le permite tener una imagen visual de su representación algebraica, recordemos que el software apoya las formas algorítmicas.


La opción dos presenta las siguientes pantallas, se detalla que el alumno falló en el primer intento:

Encuentra el valor del siguiente determinante


│-7 0 2 │

│ │


│ 9 9 6 │ El valor es = 25

│ │


│ 3 -9 3 │
INCORRECTO

INTENTALO DE NUEVO

La pantalla de solución presenta el método practico y el método de menores.
Malas, Buenas S O L U C I O N

( 1 , 0 )

Método Práctico (aumento de dos renglones), recuerda que se multiplican

los elementos de las diagonales, las que suben son con signo contrario.

│-7 0 2 │ = (-7 )( 9 )( 3 )+ ( 9 )(-9 )( 2 )+( 3 )( 0 )( 6 )

│ 9 9 6 │ - [( 3 )( 9 )( 2 )+ (-7 )(-9 )( 6 )+( 9 )( 0 )( 3 )]

│ 3 -9 3 │

│-7 0 2 │ = -189 + (-162 )+( 0 ) - [ 54 + ( 378 )+( 0 )]

│ 9 9 6 │

= -351 - ( 432 ) = -783


Método de menores sobre la primera columna

│-7 0 2 │

│ │ │ 9 6 │ │ 0 2 │ │ 0 2 │

│ 9 9 6 │ = -7 │ │ - 9│ │ + 3 │ │

│ │ │-9 3 │ │-9 3 │ │ 9 6 │

│ 3 -9 3 │

=-7 {[( 9 )( 3 )]- [(-9 )( 6 )]} +

-9 {[( 0 )( 3 )]- [(-9 )( 2 )]} +

3 {[( 0 )( 6 )]- [( 9 )( 2 )]}

= -7 ( 81 ) - 9 ( 18 )+ 3 (-18 ) ¿Deseas continuar s/n ?

= -567 - ( 162 )+(-54 ) = -783

0 : 4 : 5.28

En la parte inferior se muestra el tiempo que a utilizado en su trabajo.
La opción 3 se presentan las pantalla de respuesta de los ejercicios, toma en cuenta que el alumno domina el tema anterior, determinantes:

AREA DEL TRIANGULO


Determina el área del triángulo que tiene por vértices.
A(-4 , 6 ) B(-7 ,-1 ) C( 9 , 8 )
El área es = 23
INCORRECTO INTENTALO DE NUEVO
MALOS 1 El área es = 42.5 BUENOS 0
¿Deseas otro ejercicio s/n? 0 : 0 : 43.05
Opción 4 se presenta la pantalla de solución
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Determina el punto medio del segmento que tiene
como extremos: A( 0 , 8 ), B(-2 ,-5 )
La abscisa es = 2 La ordenada es = 2
INCORRECTO INTENTALO DE NUEVO
El punto medio es: (-1 , 1.5 )
MALOS 1 BUENOS 0
¿Deseas otro ejercicio s/n ? 0 : 0 : 5.21
Opción 5, se presenta la pantalla de solución
TRISECCION DE UN SEGMENTO
Determina uno de los puntos que dividen al segmento AB
en tres partes iguales, si tiene como extremos.
A( 1 ,-7 ), B( 9 , 8 )

Malas, Buenas

Puntos de trisección ( 1 , 0 )
Un punto es: ( 3.66 ,-2 )
el otro: ( 6.33 , 3 )
¿Deseas otro ejercicio s/n ? 0 : 0 : 3.4
Estos programas cuentan con un menú, le llamamos Examen en la opción 6, el cual permite integrar los conocimientos del tema que se trata, lo que en la práctica, se utiliza como un generador de exámenes, que utilizamos en nuestros cursos de geometría analítica y se han tenido magníficos resultados, comparados con el examen escrito, la diferencia radica en que en el examen escrito el número de preguntas se reduce, el alumno sólo puede presentarlo una vez lo que no permite que se retroalimente, por el contrario en el software puede realizarlo las veces que él desee, puede practicar en su casa, le brinda un tutorial donde le indica paso a paso la solución a su ejercicio.
Utilizamos en el curso de geometría analítica los graficadores con los que el alumno obtiene una imagen de la ecuación relacionada con el tema, nos ayuda a profundizar en el análisis de ecuaciones, por ejemplo, en las ecuación de primer grado y = mx +b, el alumno realiza una serie de gráficas que le permitan llegar a la conclusión de por qué recibe el nombre de lineal, posteriormente realiza un análisis de la ecuación haciendo variar los parámetros m, pendiente, y b, ordenada al origen, de los cuales determinara cómo actúan dentro de la ecuación de primer grado.
Otro de los elementos que se incorporan es el uso de la calculadora científica que permite realizar desde una simple multiplicación hasta cálculos complejos como son las integrales definidas.
La cuarta alternativa que proponemos es el desarrollo de “prácticas con el uso de materiales concretos”, en la cual se pondrá de manifiesto la actividad lúdica.
Las actividades que diseñamos, tienen la siguiente estructura:

I. OBJETIVO

II. REQUISITOS TEÓRICOS

III. EQUIPO Y MATERIAL

IV. MANERA DE PROCEDER

V. OBSERVACIONES


OBJETIVO. Indica lo que se pretende que el alumno realice.
REQUISITOS TEÓRICOS. Indica el conocimiento que deber tener el alumno para realizar la practica.
EQUIPO Y MATERIAL. Indica el material que se va a utilizar en la práctica.
PROCEDIMIENTOS. Tiene una serie de instrucciones que le indican al alumno el seguimiento de las prácticas.
Se presenta un total de 20 actividades, donde el alumno pone en juego todas sus habilidades interaccionado con sus compañeros, en ellas el lee, discute, mide, corta formula modelos matemáticos a partir de situaciones concretas
Conclusiones

La forma de aprendizaje del alumno son muy variadas, cada uno de ellos tiene una forma diferente de aprender por ello se hace necesario el brindarle esa gama de actividades donde el pueda desarrollar al máximo sus habilidades, el software que utilizamos presenta un gran motivante para el alumno ya que se desarrolla en un medio donde el nace, puede practicar en el momento que desee, tiene un tutor que le permite diagnosticar donde comete errores, la evaluación es inmediata y le permite retroalimentar su proceso de aprendizaje.

Es importante señalar que la agilidad mental que el alumno logra con el uso de este software es difícil que se logre con otras metodologías, recordemos que la matemática es sin duda una de las materias con mayor índice de reprobación pero mucho se debe a la práctica que realiza dentro del salón de clases o su casa, la cual se ve limitada por la cantidad de ejercicios y la motivación del alumno.
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Salazar Ludwing, Vega Hernandez, Yañez Cornelio, (2004) Aritmética y algebra, juegos matemáticos Patria cultural.


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