Guia Estadística 1



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Ejercicios propuestos - distribuciones muestrales




  1. ¿Qué es una distribución muestral? ¿Por qué son importantes las distribuciones muestrales? ¿Qué es el error estándar? ¿Qué efecto tiene aumentar el tamaño de la muestra sobre la variabilidad de una distribución muestral de proporciones?




  1. ¿Qué efectos tiene cada uno de los siguientes cambios sobre la variabilidad de una distribución muestral de la proporción muestral de muestras aleatorias simples de tamaño n?




  1. Un aumento en la desviación estándar de la población

  2. Un aumento en el tamaño de la muestra

  3. Una disminución en la proporción de la población




  1. Suponga que el 54% de los estudiantes de Psicología de la UTal son mujeres. Se toma una muestra aleatoria simple de 20 estudiantes.



  1. ¿Entre qué posibles valores podemos encontrar el 99% de las proporciones muestrales?

  2. ¿En qué afecta un aumento a 50 en el tamaño de la muestra a la media y a la desviación estándar de la distribución muestral? Sea específico.




  1. Suponga que el 65% de los estudiantes de la UTal tiene correo electrónico.




  1. Dibuje la distribución de las proporciones muestrales basadas en muestras de tamaño n=100 estudiantes.

  2. Entre qué posibles valores podemos encontrar el 95% de las proporciones muestrales.

  3. Dibuje la distribución de las proporciones muestrales basadas en muestras de tamaño n=400 estudiantes. ¿En qué difiere a la distribución dada en (a)? ¿Cómo afecta el tamaño muestral al rango dado en (b)?

  4. Basados en una muestra de tamaño 100, ¿sería posible observar una proporción muestral estimada de 0,4 o menor, si la proporción en la población es 0,65? Explique.




  1. Se sabe que el 35% de los miembros de una población sufren de una o más enfermedades crónicas. ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de 200 individuos, 80 o más tengan al menos una enfermedad crónica?




  1. ¿Por qué es importante el Teorema del límite central?




  1. ¿Verdadero o Falso? El teorema Central del Límite asegura que la distribución de la media muestral es normal para cualquier tamaño de muestra n.




  1. ¿Qué efectos tiene cada uno de los siguientes cambios sobre la variabilidad de una distribución muestral de las medias?




  1. Un aumento en la desviación estándar de la población

  2. Un aumento en el tamaño de la muestra

  3. Una disminución en la media de la población




  1. Describa la forma de la distribución muestral de las medias cuando:




  1. La población sigue una distribución normal

  2. La población no sigue una distribución normal y el tamaño de la muestra es pequeño

  3. La población no sigue una distribución normal y el tamaño de la muestra es grande


  1. Se ha elegido una muestra de 100 baterías de una línea de producción que fabrica baterías con una vida media de 40 meses y una desviación estándar de 10 meses. Si se toma una muestra diferente de 400 baterías a partir de la misma población, ¿será mayor, igual o menor el error estándar de la media? Calcule el nuevo error estándar de la media.




  1. Los puntajes del test de inteligencia WISC (Weschler Intelligence Scale for Children) siguen una distribución Normal con media 100 y desviación estándar de 15 (http://nicologic.free.fr/faq). Averigüe la probabilidad de que:




  1. Un niño elegido al azar tenga un CI menor que 95.

  2. Una muestra de 20 niños elegidos al azar tenga una media menor que 95. ¿Cuál es la diferencia con la probabilidad encontrada en (a)?

  3. Una muestra de 200 niños elegidos al azar tenga una media menor que 95. ¿Cuál es la diferencia con la probabilidad encontrada en (c)?

  4. Una muestra de 500 niños elegidos al azar tenga una media menor que 95.




  1. Si se seleccionan todas las muestras posibles de 64 elementos, a partir de una población cuya media es 100 y cuya desviación estándar es 20, ¿entre qué límites cabe esperar que esté el 80% del centro de las medias muestrales?




  1. Una compañía fabrica clips y los vende en cajas con etiquetas que dice “Aprox. 100”. Hemos contado los clips en las cajas y encontramos que el número de clips varía entre 93 o 94 y más de 100. Suponga que el número de clips en las cajas producidas por esta fábrica tiene media 100 y desviación estándar de 8. Suponga que se embala en cartones de 64 cajas y tomamos un cartón como una muestra. Use la distribución muestral de la media muestral para calcular la probabilidad aproximada de que el número de clips por caja este entre 98 y 100.




  1. La compañía de baterías Timeless afirma que sus baterías tienen una vida media de 60 meses y una desviación estándar de 9 meses. Un grupo de consumidores que está poniendo a prueba esta afirmación compra 36 baterías y determina la vida media.




  1. Calcule el error estándar de la media.

  2. Suponiendo que lo que afirma Timeless es cierto, ¿cuál es la probabilidad de que la vida media de la muestra sea menor que 58 meses?

  3. Determine la probabilidad de que la vida media de la muestra esté entre 57 y 63 meses.

  4. Si la media muestral del grupo de consumidores es 55 meses, ¿a qué conclusiones llegaría usted si fuera el analista




  1. Se hace un estudio para averiguar el número de horas al día mirando televisión de niños entre 5 y 8 años en Talca (X). Asuma que X es una variable aleatoria discreta, con la siguiente distribución de probabilidades:




X: número de horas

0

1

2

3

4

Proporción de niños

0,05

0,20

0,25

0,30

0,20




  1. Grafique la distribución de X, dé su opinión acerca de la forma de la distribución

  2. ¿Cuál es el número esperado de horas frente al televisor?

  3. ¿Cuál es la desviación estándar del número de horas frente al televisor?

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar esté a lo más (no más de) 2 horas diarias frente al televisor?

  5. Se toma una muestra aleatoria de n=64 niños de esta población. Calcule la probabilidad de que la media muestral sea de a lo más dos horas.


  1. El histograma representa el peso de nacimiento de todos los niños nacidos en 1995 en Chile (datos del INE). Suponga que estos datos pueden ser adecuadamente modelados con una distribución normal con media 3344 gramos y desviación estándar de 534 gramos.



  1. Basado en el modelo (no en el histograma), ¿cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado aleatoriamente pese entre 3 y 3,5 kilos?

  2. Se toma una muestra aleatoria de 36 niños nacidos en 1995. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del peso de nacimiento esté entre 3 y 3,5 kilos?

  3. Con la ayuda de un gráfico, explique porque la respuesta en (a) y (b) no es la misma?




  1. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de forma normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar de 6,9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población, determine:




  1. la media y la desviación estándar de la distribución muestral del promedio muestral

  2. el número de las medias muestrales que caen entre 172,5 y 175,8 centímetros




  1. La variable aleatoria X, que representa el número de pasas en una empanada, tiene la siguiente distribución de probabilidad:




X

4

5

6

7

Probabilidad

0,2

0,4

0,3







  1. Encuentre la media y la varianza de la media muestral para muestras aleatorias de 36 empanadas.

  2. Encuentre la probabilidad de que el número promedio de pasas en 36 empanadas esté entre 5,0 y 5,5




  1. Se quiere investigar si los estudiantes hacen más actividad física. El último estudio dice que el número de horas semanales que los estudiantes hacen actividad física ha aumentado en los últimos 10 años. Sea X la variable que representa el número de horas de actividad física semanal de los estudiantes en los últimos 10 años:




X

0

1

2

3

4

Proporción

0,5




0,1

0,05

0,05




  1. Complete la distribución de X

  2. ¿Qué proporción de estudiantes hace menos de 2 horas semanales de actividad física?

  3. ¿Cuál es la media de la distribución?

  4. Si quiere probar que los estudiantes hacen más actividad física que hace 10 años. Establezca la hipótesis nula y alternativa para el test, en términos de  el número de horas promedio de actividad física semanal.

  5. Usted decide rechazar Ho si elige un estudiante al azar y este hace al menos 3 horas por semana de actividad física. ¿Cuál es el nivel de significancia del test?

  6. Si se lleva a cabo el test y resulta estadísticamente significativo, dé un valor p posible.

Instituto de Matemática y Física – Universidad de Talca

estadistica@utalca.cl





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