DíEZ, José A



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DÍEZ, José A. y MOULINES, C. Ulises (1999): Fundamentos de Filosofía de la Ciencia. Barcelona: Ariel. Pp. 267-391.
Materiales del Seminario de Epistemología II. La Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela. Doctorado en Ciencias Humanas. Profesor: Dr. José Padrón Guillén, http://padron.entretemas.com.
(Este material se reproduce sólo para los participantes de ese Seminario y únicamente con propósitos didácticos, sin fines comerciales)
CAPÍTULO 8. Análisis sincrónico de teorías I. Concepción axiomática: las teorías como cálculos interpretados

1. Teorías axiomáticas. 1.1. Cálculos y teorías axiomáticas: términos primitivos, axiomas y teoremas; definiciones y términos derivados. 1.2. Ejemplo: teorías del parentesco. Reducción y equivalencia. 1.3. Aritmética, teoría de conjuntos y lógica proposicional.


2. Teorías y modelos (Estructura. Interpretación. Modelo, realización, Realización posible; realización efectiva).
3. Caracterización general de las teorías empíricas como cálculos interpretados. 3.1. Teorías formales y teorías empíricas (Concepción Heredada. Términos teóricos. Definición implícita. Convencionalismo. Formalismo. Observación; observación directa). 3.2. Cálculos interpretados: vocabulario; axiomas y reglas de correspondencia (Términos teóricos. Términos observacionales. Contenido-interpretación empírica. Reglas de correspondencia, definiciones coordinativas, postulados de significación, enunciados interpretativos, definiciones operacionales. Entidades teóricas. Vocabulario: formal,

teórico, observacional. Enunciados teóricos. Enunciados observacionales).


4. Las reglas de correspondencia y la cuestión de la eliminabilidad de los términos teóricos. 4.1. Ineliminabilidad de los términos teóricos (Reglas de correspondencia y definiciones explícitas- Enunciados reductivos; eliminativismo. Propiedades categóricas, propiedades disposicionales. Enunciados de reducción parcial. Analítico/sintético). 4.2. Eliminabilidad a lo Ramsey. 4.3. Eliminabilidad a lo Craig.
5. La distinción teórico/observacional y la naturaleza de la base empírica. 5.1. Entidades teóricas y distinción teórico/observacional (Entidades fenoménicas; qualia; fenomenismo. Entidades observables. Observación directa; observación indirecta). 5.2. Neutralidad teórica de los términos observacionales y carga teórica de los hechos (Experiencia-observación neutra, Interpretación teórica. Holismo. Carga teórica de los hechos. Conocimiento de fondo. Nuevos Filósofos de la Ciencia). 5.3. Observación y base empírica (Datos; base empírica; base de contrastación. Teórico/no-teórico. Observacional / no observacional. Vocabulario preteórico; vocabulario teórico. Principios internos; principios puente. Aplicación e interpretación empírica).
6. Consideraciones finales.


CAPÍTULO 9. Análisis sincrónico de teorías II. Concepciones historicistas: las teorías como proyectos de investigación

1. La revuelta historicista y la naturaleza sincrónica de las teorías (Nueva Filosofía de la Ciencia. Cambio y evolución de teorías. Análisis diacrónico y sincrónico de teorías).

2. Los paradigmas-matrices disciplinares de Kuhn. 2.1. Ciencia normal y ciencia revolucionaria

(Resolución de enigmas. Anomalías. Crisis científica. Ciencia no-normal, ciencia extraordinaria. Revolución científica). 2.2. Paradigmas qua matrices disciplinares (Paradigmas. Generalizaciones simbólicas; leyes paradigmáticas; principios guía. Modelos; modelos ontológicos y heurísticos. Valores; precisión, simplicidad, fecundidad, compatibi•lidad. Ejemplares; aplicaciones empíricas. Ejemplares paradigmáticos. Significado empírico. Inconmensurabilidad).


3. Los programas de investigación de Lakatos (Conocimiento de fondo. Teoría interpretativa; teoría explicativa. Heurística positiva; heurística negativa. Núcleo del programa de investigación; cinturón protector. Programas progresivos, estancados y regresivos).
4. Las tradiciones de investigación de Laudan (Compromisos metafísicos; normas epistémicas. Articulación teórica. Resolución de problemas: problemas empíricos; problemas conceptuales. Evolución de las tradiciones. Coexistencia de tradiciones).
5. Consideraciones finales.


CAPÍTULO 10. Análisis sincrónico de teorías, III. Concepciones semánticas: las teorías como entidades modelo-teóricas

1. Teorías, enunciados y modelos. 1. l. Axiomas y modelos (Equivalencia e identidad de teorías. Identificación sintáctica. Identificación semántica o modeloteórica). 1.2. El enfoque modeloteórico

(Definición de modelos. Aplicaciones empíricas. Afirmaciones empíricas. Complejidad teórica).
2. La noción de teoría de Suppes (Escuela de Stanford. Axiomatización mediante predicado conjuntista. Axiomas impropios; axiomas propios. Realizaciones posibles; realizaciones efectivas, modelos. Ejemplo: mecánica de partículas).
3. Adams y las aplicaciones intencionales (Interpretación pretendida. Medición funda•mental. Modelos pretendidos. Afirmación empírica. Autojustificación. Modelos de datos).
4. La familia semanticista. 4.1. Van Fraassen: espacios de estado; base empírica y observabilidad

(Estados, espacios de estados; trayectorias y leyes de sucesión; regiones y leyes de coexistencia. Subestructuras empíricas. Empiricidad y observabilidad. Adecuación empírica. Empirismo constructivo. Equivalencia empírica; incompatibilidad teórica. Infradeterminación de la teoría por la experiencia. Antirrealismo). 4.2. Suppe: sistemas relacionales; fenómenos, datos y teorías (Sistemas relacionales; espacios de estados; leyes. Alcance pretendido; datos, observación. Verdad empírica; verdad teórica. Cuasi-realismo). 4.3. Giere: modelos e hipótesis teóricas (Modelo teórico. Hipótesis teóricas. Similitud. Realismo constructivista). 4.4. Sneed y la concepción estructuralista (Teoricidad relativa. Aplicaciones pretendidas. Datos. Ligaduras. Relaciones interteóricas).


5. La concepción estructuralista de las teorías. 5. l. El núcleo K (Modelos potenciales y modelos actuales. Condiciones de ligadura; ligadura global. T-teoricidad y modelos parciales; procedimiento de determinación). 5.2. Aplicaciones intencionales (Aplicaciones y modelos parciales. Carga teórica de los datos. Determinación intencional y paradigmática del dominio de aplicaciones). 5.3. L,, teorías como elementos teóricos (Contenido y aserción empírica. Contenido teórico y contenido empírico. Aserción empírica. Subsunción o encaje teórico). 5.4. Especialización. Las teorías como redes teóricas (Matrices disciplinares; complejidad de las teor(as. Especialización teórica, redes teóricas, redes conectadas, redes arbóreas; elemento teórico básico). 5.5. Vínculos interteóricos y botones (Leyes mixtas, leyes- puente y vínculos interteóricos. Vínculos y núcleo; vínculo global. Holones teóricos).
6. Consideraciones finales.

CAPÍTULO 11. Relaciones interteóricas

1. Concepto general de relación interteórica (Relaciones interteóricas. Relaciones interteóricas o identidad de teorías. Holismo; tesis Duhem-Quine).


2. Teorización (Términos T-no teóricos. Teorías subyacentes. Base empírica, contrastación y teorización. Teorización total y teorización parcial. Fundacionismo y coherentismo. Subestructuras. Determinación).
3. Reducción (Reduccionismo. Revoluciones científicas, inconmensurabilidad. Reducción exacta; reducción aproximativa. Reducción y cambio teórico. Condiciones de conectabilidad y derivabilidad. Constitución).
4. Equivalencia (Equivalencia y reducción. Equivalencia fuerte o estricta. Equivalencia débil o empírica).
5. Apéndice: Ciencia especial y ciencia básica; reducción, múltiple realizabilidad y superveniencia (*).

5.1. Distinciones previas: términos generales, conceptos expresados y entidades denotadas; acaeciniento-ejemplar y acaecimiento-tipo. 5.2. Identidad conceptual. Reduccionismo semántico. 5.3. Identidad de tipos o propiedades. Reduccionismo ontológico. 5.4. Múltiple realizabilidad. 5.5. Dualismo de propiedades con identidad de ejemplares y superveniencia. 5.6. Dualismo de propiedades con identidad de ejemplares y epifenomenismo. 5.7. Eliminativismo. 5.8. Dualismo de ejemplares.


CAPÍTULO 8

ANÁLISIS SINCRÓNICO DE TEORÍAS I. LA CONCEPCIÓN AXIOMÁTICA:

LAS TEORÍAS COMO CÁLCULOS INTERPRETADOS

Con este capítulo iniciamos la presentación de los diversos análisis de la noción de teoría empírica con que se pretende elucidar la naturaleza y estructura de las teorías científicas. Como mencionamos brevemente en el capítulo 1, las teorías científicas son entidades que se extienden o perduran en el tiempo, que permanecen a través del cambio. Ello supone que el estudio puramente sincrónico que las considera como entidades estáti- cas, "congeladas", constituye sólo una primera aproximación que se debe completar con un análisis diacrónico que dé cuenta del carácter persistente de estas entidades, esto es, con una cinemática de teorías. En este capítulo y en los dos siguientes vamos a realizar la primera parte de la tarea, el estudio sincrónico, que se completará en el capítulo 12 con el análisis diacrónico. En las dos primeras secciones de este capítulo se presentan en detalle, y se ilustran con ejemplos puramente formales, las nociones de teoría axiomática y de modelo (o realización); en la primera se presenta además una primera idea de otras nocio- nes que se estudiarán en otros capítulos, especialmente las de contenido, reducción y equivalencia. En la tercera sección se aplica la primera noción a las teorías empíricas y se introduce el análisis clásico de las teorías empíricas como cálculos axiomáticos empírica- mente interpretados. En las dos secciones siguientes se discuten dos cuestiones especial- mente importantes de este análisis, (i) la naturaleza y función de las reglas de correspon- dencia y (ii) la distinción teórico/observacional y el problema de la base empírica.

1. Teorías axiomáticas


Según cierta noción de teoría, una teoría es un conjunto de afirmaciones sobre un determinado ámbito de la realidad. Así, según esta concepción, la Mecánica Clásica (MC) consiste en una serie de afirmaciones sobre el movimiento de los cuerpos de tamaño me- dio; la Termodinámica (TM), sobre sistemas que interaccionan intercambiando energía; la Genética Mendeliana ( GM), sobre la transmisión de rasgos en la generación de seres vivos; la Economía del Intercambio (El), sobre procesos de transferencia de bienes de consumo; la Aritmética de Peano ( AP), sobre los números naturales y sus propiedades; la

268 FUNDAMENTOS DE FILOSOFÍA DE LA CIENCIA


Teoría de Conjuntos (TC), sobre las clases, conjuntos o colecciones; o una supuesta Teo- ría del Parentesco (TP) sobre los hechos que se derivan de las relaciones familiares. Con- cebidas como conjuntos de afirmaciones sobre un determinado ámbito, las teorías se ana- lizan o reconstruyen como teniendo cierta estructura que expresa las relaciones que man- tienen entre sí las diversas afirmaciones y los diversos términos o conceptos con los que se realizan tales afirmaciones. La noción formal que expresa esa estructura es la de cálcu- lo axiomático o, simplemente, teoría axiomática, y se aplica por igual a teorías empíricas y a teorías puramente formales; la diferencia radica en que esta noción agota el análisis de las segundas pero no el de las primeras, que se debe completar con elementos adicionales. Ahora vamos a contemplar exclusivamente este elemento común.


1.1. CÁLCULOS Y TEORÍAS AXIOMÁTICAS: TÉRMINOS PRIMITIVOS, AXIOMAS Y TEOREMAS; DEFINICIONES Y TÉRMINOS DERIVADOS
La idea básica es que una teoría o conjunto de afirmaciones se puede "resumir" o "concentrar" en algunas de sus afirmaciones, de las que se derivan todas las restantes mediante un proceso de inferencia deductiva. A las afirmaciones que forman parte de ese "conjunto-resumen", consideradas primitivas, se las denomina `axiomas', y a las afirmaciones que se deducen de los axiomas, consideradas derivadas, se las denomina

`teoremas'. Si llamamos contenido de una teoría al conjunto de todas sus afirmaciones, entonces tal contenido se encuentra ya completo, aunque implícito, en los axiomas

(cf. cap. 2, §2). El contenido de la teoría, la información que da, es por tanto el conjunto de consecuencias lógicas de los axiomas. Toda afirmación se encuentra ya en los axio- mas: explícitamente, si es un axioma, o implícitamente, si no lo es, en cuyo caso se pue- de hacer explícita deduciéndola lógicamente, esto es, obteniéndola como teorema a par- tir de los axiomas. Los teoremas, por tanto, no contienen información nueva, sólo hacen explícita información contenida implícitamente en los axiomas. Por supuesto, para que esto sea así es preciso que de los axiomas en cuestión se sigan efectivamente todas las afirmaciones de la teoría o sea, que el conjunto de axiomas sea suficiente, o como se dice a veces, completo. Al axiomatizar una teoría se pretende dar con un conjunto com- pleto de axiomas para ella. Ésta es pues una condición necesaria para una buena axio- matización.

Es fundamental ver que la anterior condición, aunque necesaria, no es suficiente. Que de los axiomas se obtengan todas las afirmaciones no basta para una buena axiomati- zación, pues de lo contrario el simple conjunto de todas las afirmaciones sería ya un buen conjunto de axiomas. De tal conjunto se obtienen efectivamente, cómo no, todas las afir- maciones; es, si se quiere, un conjunto de axiomas, pero no es un buen conjunto de axio- mas pues viola el espíritu que inspira la axiomatización, a saber, dar una versión lo más

"resumida" o "concentrada" posible de la teoría. Así pues, es un principio metodológico general que los axiomas han de constituir un conjunto mínimo de afirmaciones primitivas, ningún axioma debe ser deducible de los restantes; o, como se dice técnicamente, los axiomas deben ser independientes entre sí (para una ejemplificación de ésa y otras nocio-

ANÁLISIS SINCRÓNICO DE TEORÍAS I 269 nes, cf. más abajo el ejemplo de las teorías del parentesco). Un buen conjunto de axiomas para una teoría es por tanto un subconjunto de sus afirmaciones que sea completo y cuyos miembros sean independientes entre sí. Es importante señalar que estas condiciones no determinan un único subconjunto de tales afirmaciones. Dada una teoría (en sentido intui- tivo), siempre hay más de un subconjunto completo e independiente de afirmaciones, siempre hay axiomatizaciones alternativas.

Hasta aquí hemos hablado sólo de las afirmaciones de la teoría. Debemos hablar ahora de los constituyentes de estas afirmaciones, los términos o conceptos de la teoría.' Como veremos, la referencia a los términos introducirá una complicación adicional en las relaciones entre las afirmaciones, pues además de axiomas y teoremas intervienen enton- ces las definiciones.

Los términos de una teoría, los constituyentes de sus afirmaciones, expresan el aparato conceptualizador de la teoría, esto es, el aparato con el que se pretenden capturar las entidades de diverso tipo (objetos individuales y sus propiedades y relaciones) que conforman el ámbito de la realidad del que se ocupa la teoría. Así, por ejemplo, MC habla de partículas, masas, velocidades, etc.; AP habla de la propiedad de ser número natural, del cero, de la función siguiente, etc.; TP habla de padres, hermanos, abuelos, etc. Los términos de las teorías, contempladas éstas en su estadio intuitivo, son susceptibles tam- bién en general de cierta simplificación. Por ejemplo, si en MC disponemos ya de 'posi- ción' y `tiempo' podemos prescindir como término primitivo de `velocidad', pues se pue- de introducir o definir a partir de los anteriores; o si en TP disponemos ya de `progenitor' y `hermano', podemos prescindir como término primitivo de `tío', pues se puede introdu- cir o definir a partir de los anteriores. Esta introducción de nuevos términos a partir de otros anteriores supone la entrada en juego de otro tipo de "afirmaciones" o enunciados, las definiciones, pues sólo mediante enunciados (o esquemas de tales) es posible explici- tar el modo en que se introduce un término nuevo a partir de otros anteriores. Las defini- ciones siempre tienen la forma de una equivalencia del tipo:



(1) "a(t(x,, ..., x„)) SYSSdef (3(t,, ..., tk , x,, ..., xJ" (n ? 0, k ?1).
Aquí t es el nuevo término y t,, ..., tk, son términos ya disponibles, esto es, términos primi- tivos o ya definidos con anterioridad a t; n indica el número de variables a las que se apli- ca el término, esto es, su ariedad; a y 0 son funciones proposicionales. Ésta es la forma estándar que claramente presentan las definiciones de los relatores (n-ádicos), que nom- bran propiedades o relaciones entre individuos; por ejemplo, `ser impar': "x es impar syssdef x dividido entre 2 da de resto 1" (análogamente, p.ej., con `ser múltiplo de'). Pero los términos de un lenguaje no siempre son relatores, puede haber también términos sin- gulares (p.ej. `1') y functores (p.ej. `el siguiente de ...', `la intersección de ... y ...') que nombran, respectivamente, a individuos y a funciones-operaciones entre individuos. En

1. Términos o conceptos, respectivamente, según se entienda por `afirmación' el enunciado mismo o su contenido. De acuerdo con la práctica dominante en filosofía de la ciencia, seguiremos ahora en general l a primera interpretación, y diremos por tanto que los constituyentes de las afirmaciones son términos.


270 FUNDAMENTOS DE FILOSOFÍA DE LA CIENCIA
principio parece que las definiciones de términos singulares y de functores no se ajustan a la forma (1) sino a estas otras:

(2) "t = defy(t,, . .., tk)" para términos singulares, y

(3) "t(x 1 , ..., x„) _ aefy(t,, ..., tk, x,, ..., x„)" para functores (n-ádicos),
donde en ambos casos la parte derecha, "y(...)" es una descripción que usa otros términos ya disponibles; por ejemplo: "1 = d f el siguiente de 0"; "x n y =,,f el conjunto cuyos ele- mentos son los elementos comunes a x e y". Sin embargo, es fácil ver que estas definicio- nes se pueden expresar también mediante una equivalencia de la forma (1), esto es, res- pectivamente, mediante:
(2') "para todo z: z = t syss def z = y(t,, ..., tk)" ,

(3') "para todo z: z = t(x,, ..., x,,) syss,,ef z = y(t,, ..., tk , x,, ..., x„)".
Por tanto, la forma general de la definición queda bien expresada mediante (1) (ligera- mente modificada pues, como el lector habrá advertido, (2') y (3') contienen cuantificado- res y (1) no). Ahora bien, una vez señalado esto, lo usual es introducir los términos singu- lares y los functores mediante (2) y (3) respectivamente, y así lo haremos también aquí. Las definiciones no son afirmaciones del mismo tipo que los axiomas y los teore-

mas, no son afirmaciones sustantivas de la teoría sino que expresan meras abreviaturas notacionales. Esto se expresa diciendo que las definiciones deben cumplir dos requisitos: han de ser a) eliminables y b) no creativas o inocuas. Lo primero significa que cualquier afirmación que contenga un término definido ha de poder eliminarse usando la definición que introduce dicho signo; esto es, con ayuda de la definición se debe poder probar que tal afirmación es equivalente a otra que no contenga dicho signo, y en última instancia, si eliminamos los otros signos definidos previamente, equivalente a otra afirmación que contenga sólo signos primitivos. Lo segundo significa que si tenemos una afirmación que involucra el término definido t cuya prueba recurre, además de a los axiomas y otras definiciones previas, a la definición de t, su afirmación equivalente resultante de eliminar t ha de poder probarse sin recurrir a la definición de t, y si se han eliminado todos los tér- minos definidos, ha de probarse a partir de los axiomas solos. Nótese que en caso contra- rio la presunta definición contendría subrepticiamente información sustantiva, no sería una mera abreviatura terminológica. En este sentido las definiciones son inocuas, no aña- den nada al contenido de la teoría; por ello son teóricamente prescindibles, lo que se dice con su ayuda se puede decir igualmente sin ellas. Por supuesto que si un teorema contiene un término definido, para probarlo no nos bastan los axiomas, necesitamos además al me- nos una definición, la que ha introducido dicho término (y sólo esa definición si es el úni- co término no primitivo del teorema). Pero si el término se ha introducido correctamente, mediante una definición eliminable y no creativa, ese teorema es equivalente a otro cuya prueba no requiere dicha definición, y en última instancia equivalente a otro que contiene sólo términos primitivos cuya prueba recurre exclusivamente a los axiomas. Las defini- ciones son pues prescindibles, todo lo que se dice con su ayuda se puede decir sin ella; no

ANÁLISIS SINCRÓNICO DE TEORÍAS I 271 se puede decir exactamente de la misma forma, si dicha forma usa términos no primiti- vos, pero sí de otra equivalente que sólo use términos primitivos. Ahora bien, aunque las definiciones son teóricamente superfluas, no lo son en la práctica de la construcción y aplicación de una teoría; en efecto, para teorías de un mínimo de complejidad conceptual y fuerza expresiva, el prescindir totalmente de definiciones haría a éstas inmanejables y prácticamente incomprensibles. Las definiciones poseen un gran valor de "economía inte- lectual" en la construcción de las teorías.

En general al axiomatizar una teoría se pretende reducir al mínimo no sólo las afirmaciones primitivas o básicas, los axiomas, sino también los términos primitivos. Es cierto que en esto último la práctica es un poco más laxa y a veces se ofrecen axiomati- zaciones en las que algunos términos básicos son definibles a partir de otros, pero ello casi siempre responde a motivaciones pedagógicas (y por los mismos motivos, aunque es menos usual, se dan a veces axiomas no independientes del resto); el ideal estricta- mente científico es siempre el mismo: no presentar como primitivo lo que pueda ser de- rivado, ya sean afirmaciones o conceptos. A veces las simplificaciones de axiomas y términos van de la mano, pues un axioma puede ser eliminado si determinado término, considerado primitivo hasta entonces, se define apropiadamente. Por ejemplo, en TC se puede dar una axiomatización que contenga como término primitivo el signo functor de par ordenado `< , >' y un axioma que regule su comportamiento, a saber " = syss x = z y y = v"; pero esta axiomatización se puede simplificar, se puede eliminar di- cho término como primitivo mediante la definición " =aef{x,{x,y} }", de modo que el mencionado axioma se convierte en un teorema que se prueba a partir de los restantes axiomas y de dicha definición.

Hasta ahora hemos presentado las cosas como si una teoría axiomática fuese el re- sultado de axiomatizar, reconstruir axiomáticamente, una teoría "en estadio intuitivo" consistente en una serie de afirmaciones sobre un ámbito, afirmaciones que usan una serie de conceptos. Entonces la teoría axiomática resulta de seleccionar apropiadamente algu- nos de los conceptos como primitivos, seleccionar algunas de las afirmaciones que con- tienen sólo dichos conceptos como verdades primitivas o axiomas, definir el resto de conceptos que ya usa la teoría, y probar como teoremas el resto de afirmaciones, usando en las pruebas sólo los axiomas cuando las afirmaciones contengan sólo términos primiti- vos, o usando además las definiciones cuando contengan términos no primitivos. Ésta es la presentación que más naturalmente se corresponde con lo que de hecho ocurre históri- camente, pues casi siempre la formulación de una teoría axiomática es el resultado de axiomatizar, en este sentido, una teoría en estadio intuitivo. Según este modo de presen- tarlo, de los términos no primitivos "ya se dispone" en la teoría.

La distinción entre axiomas y teoremas, y entre términos primitivos y definidos, expresa la "dependencia" de unas afirmaciones respecto de otras y de unos conceptos res- pecto de otros. Esta dependencia tiene claro sentido en una teoría ya axiomatizada ("regi- mentada"), pero en una teoría intuitiva (en el estadio intuitivo de una teoría) es dudoso que se puedan identificar relaciones de dependencia o prioridad en este sentido. Desde una perspectiva preaxiomática, todas las afirmaciones y todos los conceptos están, por así decir, "al mismo nivel". Otra cosa son las relaciones de prioridad de otro tipo, por ejem-

2.72 FUNDAMENTOS DE FILOSOFÍA DE LA CIENCIA
plo epistémico, esto es, qué afirmaciones se consideran mejor fundamentadas, o más fá- cilmente cognoscibles. De eso no vamos a decir nada aquí, sólo que esta dependencia epistémica es en principio independiente de la que se introduce al axiomatizar y que, por tanto, la axiomatización no tiene por qué seguir criterios de prioridad epistémica.

En la presentación axiomática de una teoría se ofrece simplemente una serie de términos primitivos y una serie de afirmaciones primitivas que usan dichos términos, y los términos definidos se introducen, si se quiere, después para abreviar los teoremas que resultarían de escritura excesivamente larga si se usaran sólo los términos originales. Así vista, una teoría parece "que parte de cero", pero no hemos de olvidar que en la mayoría de los casos lo que se pretende es "poner orden" en un cuerpo de afirmaciones previa- mente existentes. Es importante señalar, además, que este proceso no siempre consiste en una mera ordenación, pues a veces la versión intuitiva incluye afirmaciones incompati- bles entre sí y al axiomatizar se debe tomar partido por alguna de las alternativas. De he- cho, algunas de las axiomatizaciones han surgido precisamente como respuesta a determi- nadas inconsistencias, o en general dificultades, descubiertas en la versión intuitiva; tal es el caso de las teorías axiomáticas de conjuntos, motivadas principalmente por la paradoja de Russell, o de las axiomatizaciones de las geometrías no euclídeas, que surgieron del intento de probar la independencia en la geometría euclídea del axioma de las paralelas respecto de los restantes.

Antes de ver algunos ejemplos es conveniente señalar que este análisis de las teorías, o en general cuerpos de conocimiento, plantea inmediatamente cuestiones fun- damentales relativas al significado de los términos teóricos y a la justificación de las afirmaciones de la teoría. El significado de los términos definidos se retrotrae al de los términos primitivos a través de las definiciones. La justificación de los teoremas se re- trotrae a la de los axiomas a través de las pruebas de aquéllos a partir de éstos. Como aprendemos pronto de niños, no toda afirmación se puede derivar de otras, ni todo tér- mino se puede definir eliminativamente a partir de otros. Los términos primitivos y los axiomas son los primitivos en los que nos detenemos; pero entonces el significado de los términos de la teoría pende en última instancia del significado de términos para los que no hay definición explícita, y la justificación de todas las afirmaciones de la teoría pende en última instancia de la justificación de afirmaciones para las que no hay demos- tración que parta de otras. ¿Cómo adquieren aquéllos significado y éstas justificación? Nótese que, por más que dispongamos de cierta "preconcepción" del significado de los términos primitivos, ello corresponde al estadio intuitivo o preaxiomático de la teoría. Desde una perspectiva axiomática, lo único que especifica explícitamente la teoría al fi- jar los términos primitivos es su categoría lógica, esto es, si se trata de relatores, functo- res o términos singulares, categoría que nos permite combinarlos correctamente de acuerdo con la gramática del lenguaje lógico que se utilice. En cuanto a las afirmacio- nes primitivas, lo único que hace la teoría desde un punto de vista formal es elegir, de entre las infinitas combinaciones bien formadas de términos primitivos y signos com- plementarios (lógico-matemáticos, según la teoría formal que se presuponga), algunas de ellas para fijarlas como axiomas. La pregunta por el significado de los términos pri- mitivos y por la justificación de los axiomas de la teoría surge pues inmediatamente al

ANÁLISIS SINCRÓNICO DE TEORÍAS I 273 contemplar las teorías como sistemas axiomáticos. De esta cuestión nos ocuparemos por extenso más adelante en éste y en los dos próximos capítulos, de momento nos interesa tan sólo la estructura formal de los sistemas axiomáticos.

Para fijar las ideas anteriores vamos a dar el esbozo de algunas teorías axiomáti- cas, principalmente de las ciencias formales que es donde más claramente, al menos hasta mediados del siglo XX, ha sido aplicada esta noción; lo peculiar de cierto modo de entender las teorías empíricas es que considera que la naturaleza y estructura de las teo- rías empíricas también se expresa adecuadamente mediante la noción de teoría axiomá- tica, adecuadamente completada para dar cuenta de las peculiaridades del conocimiento empírico frente al lógico-matemático. Antes de ver los ejemplos reales provenientes de las ciencias formales, y puesto que no cabe suponer en general el conocimiento del con- tenido intuitivo de dichas teorías, comenzaremos con una pseudoteoría cuyo contenido nos es familiar a todos, la "Teoría" del Parentesco. Vamos a ver cómo se puede expresar este cuerpo de afirmaciones como teoría axiomática en el sentido elucidado, de modo que capte "las verdades sobre el parentesco" que conocemos. El esquema es siempre el mismo: n términos primitivos t,, ..., t,,, m axiomas A,, ..., A,,; teoremas T,, T2, ... con tér- minos primitivos; p definiciones-abreviaturas D,, ..., D, que introducen p términos deri- vados t,+1, ..., t,, + ,,, y finalmente nuevos teoremas que contienen también términos deriva- dos. Toda afirmación de la teoría ha de estar constituida exclusivamente por términos propios de la teoría, primitivos o definidos, más vocabulario lógico ('todo', `y',

` no', etc.).


1.2. EJEMPLO: TEORÍAS DEL PARENTESCO. REDUCCIÓN Y EQUIVALENCIA


Vamos a presentar aquí, como ejercicio, algunas "teorías del parentesco" de entre las varias que es posible construir. Estas teorías expresan, mejor o peor, las afirmaciones básicas relativas a ese ámbito de la realidad constituido por las relaciones de parentesco sanguíneo o biológico. Además de fijar las ideas anteriores, estos ejemplos servirán para in- troducir algunas ideas nuevas concernientes a las posibles relaciones que pueden darse en- tre diversas teorías. Para una mayor precisión, la presentación de las teorías debería utilizar el lenguaje formal de primer orden, pero de momento, y para facilitar la lectura, escribire- mos aquí en general los diversos enunciados de las teorías en lenguaje informal; sólo dare- mos como muestra la versión formal de los axiomas en el primer ejemplo. El lector debe notar que, como señalamos más arriba, los enunciados contienen exclusivamente términos introducidos explícitamente por la teoría o términos puramente lógicos.

Teoría del Parentesco 1 (TP1):
Términos (o conceptos) primitivos: C I. Progenitor (relator diádico): P C2. Varón (relator monádico): V

C3. Hembra (relator monádico): H

274 FUNDAMENTOS DE FILOSOFÍA DE LA CIENCIA
Axiomas:

Al. Todo individuo es varón o hembra, y sólo una de las dos cosas.



Vx(VxH-'Hx)
A2. Todo individuo tiene al menos un progenitor varón.

Vx3y (Vy A Pyx)


A3. Todo individuo tiene al menos un progenitor hembra.

Vx3y ( Hy A Pyx)


A4. Todo individuo tiene como máximo dos progenitores.

Vx,y,z,t(PxtAPytAPzt-*z=xvz=yvx=y)
A5. Si un individuo es progenitor de otro, éste no lo es de aquél.

Vx,y (Pxy -> - PYx)

Con estos axiomas ya se pueden probar algunos teoremas:

T1. Todo individuo tiene exactamente dos progenitores.

(Prueba: De A2, A3 y Al se sigue que tiene al menos dos progenitores dife- rentes, de ello y de A4, se sigue que tiene exactamente dos. QED)

T2. Nadie es su propio progenitor.

T3. Para todo individuo existen como mínimo dos hembras que son progenitoras de progenitores de dicho individuo.
Como muestra T3, algunos teoremas pueden ser muy largos, por lo que es conveniente in- troducir algunas abreviaturas o definiciones (las incompletas las puede completar el lec- tor; nótese que según la noción de hermano que se va a definir, todo individuo es herma- no de sí mismo):
DI. Padre: x es padre de y sysshrx es progenitor de y y x es varón. D2. Madre: x es madre de y syss,, efx es progenitor de y y x es hembra. D3. Her: x es her de y syss,CJ x e y tienen los mismos progenitores.

D4. Hermano: x es hermano de y sysstJx es her de y y x es varón. D5. Hermana: x es hermana de y syss, f

D6. Hij: x es hij de y syss, fy es progenitor de x. D7. Hijo: x es hijo de y syss def

D8. Abu: x es abu de y syss c,efx es progenitor de algún progenitor de y. D9. Ti: x es ti de y syss,,ef

El lector puede dar las definiciones restantes (sob, sobrino, sobrina, prim, primo, etc.). Con estas definiciones podemos abreviar, p.ej., T3 como T4 y, en general, expresar mu- chas de las afirmaciones de la teoría intuitiva mediante términos no primitivos:

T4. Todo individuo tiene como mínimo dos abuelas.

T5. Todo individuo tiene exactamente un padre y una madre. T6. Todo individuo es her de sí mismo.

ANÁLISIS SINCRÓNICO DE TEORÍAS I 27 5


T7. Los her de her son her entre sí. T8. Nadie es su propio padre.

T9. Si uno es hij de otro, éste no lo es de aquél.


TP1 es un ejemplo sencillo de teoría axiomática pero que contiene ya todo lo esencial; toda teoría axiomática, por muy complicada que sea, tiene exactamente esta es- tructura. TPI sólo contiene relatores y, como hemos visto antes, las teorías pueden conte- ner también como términos, primitivos o derivados, functores y términos singulares (p.ej. podríamos haber dado una teoría "bíblica" del parentesco con los términos singulares pri- mitivos `Adán' y `Eva', en cuyo caso deberíamos modificar algunos axiomas pues A2 y A3 no valen para Adán y Eva). El número y variedad categorial de los términos de una teoría aumenta considerablemente su complejidad, pero la estructura es esencialmente la misma en todos los casos, esto es, como la que TP1 ejemplifica. Por otro lado, como teo- ría del parentesco TP1 no es muy buena, pues no permite obtener como teoremas afirma- ciones de la teoría intuitiva como "nadie es bisabu de sí mismo". La siguiente teoría, que amplía TP1 añadiendo el término nuevo `ancestro' y sus correspondientes axiomas, es un poco mejor.
S Teoría del Parentesco 2 (TP2):

Términos primitivos:

C1. Ancestro (relator diádico) C2. Progenitor (relator diádico) C3. Varón (relator monádico) C4. Hembra (relator monádico) Axiomas:

Al. Si uno es ancestro de otro, éste no lo es de aquél.



A2. Si uno es ancestro de otro y éste lo es de un tercero, entonces el primero lo es del último.

A3. Si un individuo es progenitor de otro, también es su ancestro.



A4. Si un individuo es ancestro de otro, entonces le conecta con éste una se- cuencia finita de progenitores.

A5. Todo individuo es varón o hembra, y sólo una de las dos cosas. A6. Todo individuo tiene al menos un progenitor varón.

A7. Todo individuo tiene al menos un progenitor hembra. A8. Todo individuo tiene como máximo dos progenitores.



). A9. Si un individuo es progenitor de otro, éste no lo es de aquél.
Hemos dado los axiomas de TP2 añadiendo simplemente los cuatro primeros a los de TP1, extendiendo o aumentando TP1 con un nuevo término primitivo y nuevos axio- mas. El resultado no es muy feliz, pues ahora A9 es redundante, no es independiente del resto pues se sigue de A l y A3. Construyamos ahora una nueva teoría del parentesco sim- plemente eliminando A9 de TP2:

276 FUNDAMENTOS DE FILOSOFÍA DE LA CIENCIA
Teoría del Parentesco 3 (TP3):

Los mismos términos primitivos y derivados que TP2 y los mismos axiomas salvo

A9.
TP3 está un poco mejor que TP1 pues se obtienen como teoremas todos los de TP1 más algunas afirmaciones que se le escapaban a TP1, como "nadie es bisabu de sí mismo", y además otras afirmaciones deseables sobre el nuevo concepto, tales como

"todo individuo tiene tantos ancestros varones como hembras" y "dos individuos tienen los mismos progenitores si y sólo si tienen los mismos ancestros". TP3 presenta además una característica novedosa respecto de TP1. TP1 contiene, además de sus términos pri- mitivos, sólo términos lógicos, términos de la lógica de primer orden (LPO) que es por tanto la teoría presupuesta por TP1 y "dentro de la cual" realizamos nuestras demostracio- nes. Pero TP3, en su A4, contiene un término extralógico, el término `secuencia finita'. Este término no pertenece a LPO sino a otra teoría formal específica más rica que LPO, la aritmética o, alternativamente, la teoría de conjuntos. Algunas teorías pueden por tanto utilizar como recursos formales adicionales (términos y principios), no sólo los de la lógi- ca que utilice sino también los de alguna teoría matemático-formal. En TP3 esos recursos teóricos formales adicionales son muy sencillos, pero en teorías físicas altamente mate- matizadas pueden incluir partes muy elevadas de la matemática (cálculo diferencial, teo- ría de tensores, etc.).

TP3 ilustra además otro hecho. Diremos que una teoría es inmediatamente simplifi- cable si sus axiomas no son independientes. Vimos que TP2 era una extensión de TP1 in- mediatamente simplificable y eliminando el axioma redundante obteníamos TP3, que ya no es inmediatamente simplificable. Pero aunque TP3 es mejor que TP2, no es todo lo buena que podría ser pues es simplificable en otro sentido menos inmediato pero igualmente im- portante, sentido en el que desempeñan un papel fundamental los términos primitivos. El sentido es el siguiente: podemos definir alguno de sus términos primitivos en función de los restantes de modo que alguno de los axiomas pase a ser deducible del resto, esto es, de modo que la nueva teoría sea inmediatamente simplificable. Eso es lo que pasa con TP3, pues puedo definir `progenitor' en función de 'ancestro' (un progenitor es un "ancestro de primera generación") obteniendo una teoría inmediatamente simplificable.


Teoría del Parentesco 4 (TP4):

Los mismos términos primitivos que TP3 salvo `progenitor', que se introduce ahora como término definido del siguiente modo:



x es progenitor de y syss<,ef x es ancestro de y y no hay ningún individuo z tal que x es ancestro de z y z es ancestro de y.

Los mismos axiomas que TP3.


Se dirá que ahora los axiomas de TP4 no pueden ser directamente los de TP3 pues contienen un término, `progenitor', que ahora no es primitivo. Pero nada impide que una

ANÁLISIS SINCRÓNICO DE TEORÍAS I 277 teoría contenga axiomas con términos definidos; estos términos son meras abreviaturas y, si se prefiere, podemos escribir los axiomas sin ellos, pero también podemos hacerlo con su ayuda si usando sólo términos primitivos resultan muy engorrosos, como ocurriría con los axiomas 3, 6, 7, 8 y, en especial, 4 de TP4 (que ahora diría que no hay secuencias infi- nitas de "ancestros consecutivos"). Pues bien, los escribamos como los escribamos, en su actual forma o "deshaciendo" la definición de `progenitor', el resultado es que ahora A3 se puede probar como teorema, es decir, TP4 es inmediatamente simplificable.

Esta situación nos permite una primera aproximación intuitiva a dos conceptos de los que nos ocuparemos por extenso más adelante, los de reducción y equivalencia

(cf. cap. 11). Obtengamos ahora una nueva teoría eliminando de la teoría inmediatamente simplificable TP4 el axioma redundante A3.



Teoría del Parentesco 5 (TP5):
Los mismos conceptos primitivos y derivados que TP4 y los mismos axiomas me- nos A3.
Olvidemos por el momento TP2 y TP4, que no son buenas teorías axiomáticas al ser inmediatamente simplificables, y centrémonos en TP1, TP3 y TP5, buenos sistemas axiomáticos con todos sus axiomas independientes. Tal como hemos dado con ellas, de- berían estar claros ahora los siguientes hechos: a) TP3 y TP5 "dicen lo mismo", tienen el mismo contenido; b) TP3 y TP5 "dicen al menos tanto como" TP1, todo el contenido de TP 1 es también contenido de éstas. En el primer caso decimos que TP3 y TP5 son equi- valentes, en el segundo que ambas reducen TP1. Intuitivamente: una teoría T reduce otra T' si el contenido de T' es parte (quizá no estricta) del contenido de T; una teoría T es equivalente a otra T' cuando tienen el mismo contenido, es decir, cuando se reducen mu- tuamente.

Tal como hemos obtenido nuestras teorías, quizá estas relaciones no parezcan muy interesantes. TP3 es una simplificación de TP2, que es una simple ampliación (inme- diatamente simplificable) de TP1, por lo que poco tiene de sorprendente que TP2, y con ella TP3, reduzcan TP1; en realidad TP3 tiene incluso todos los conceptos primitivos de TPI, y algunos más, nada muy sorprendente pues que diga lo mismo que ella y quizá algo más. Pero es esencial destacar que la reducción no exige que la teoría reductora contenga como primitivos los términos primitivos de la reducida; TP5 reduce TPI y entre sus tér- minos primitivos ('ancestro', `varón', `hembra') no están todos los primitivos de TP1

('progenitor', `varón', `hembra'). Y lo mismo ocurre respecto de la equivalencia o reduc- ción recíproca. TP3 y TP5 son equivalentes y sin embargo no tienen exactamente los mis- mos términos primitivos. En este caso particular, los términos primitivos de una de las teorías, TP3 ('ancestro', `progenitor', `varón', `hembra'), incluyen los primitivos de su equivalente TP5. Pero no es necesario ni que tengan los mismos términos primitivos ni si- quiera que los de una lo sean también de la otra. Como ejemplo tómese la siguiente teoría del parentesco.


278

FUNDAMENTOS DE FILOSOFÍA DE LA CIENCIA





Teoría del Parentesco 6 (TP6):

Términos primitivos:

C1. Padre (relator diádico) C2. Madre (relator diádico) C3. Varón (relator monádico)

C4. Hembra (relator monádico) Axiomas:

Al. Todo individuo es varón o hembra, y sólo una de las dos cosas. A2. Todo individuo tiene exactamente un padre.

A3. Todo individuo tiene exactamente una madre.

A4. Los padres de alguien son varones y las madres hembras. A5. Si un individuo es padre de otro, éste no lo es de aquél. A6. Si un individuo es madre de otro, éste no lo es de aquél. Definiciones:

Dl. Progenitor: x es progenitor de y syss,,efx es padre o madre de y. El resto de definiciones como en TP1.


Pues bien, es fácil ver que TP6 es equivalente a TP1 (y como TP1, por tanto, redu- cida por TP3 y TP5) y sin embargo ninguna incluye como primitivos todos los conceptos primitivos de la otra. Lo que sí ocurre, y este es el punto esencial, es que los términos pri- mitivos de una pueden ser definidos mediante los de la otra (en los términos comunes la de- finición es inmediata, la gracia está en los no comunes) de modo que los axiomas de una se convierten en afirmaciones (axiomas o teoremas) de la otra. Éste es el concepto un poco más refinado de reducción: T reduce T' ` si los términos primitivos de T' pueden ser defini- dos en T de modo que los axiomas de T' se obtienen como axiomas o teoremas de T (sólo como teoremas, si no tienen ningún término en común); T y T' son equivalentes si se redu- cen mutuamente. Cuando las teorías tienen términos comunes, como en nuestras teorías del parentesco, estas relaciones no suelen ser extremadamente interesantes, después de todo

"parecen hablar (al menos parcialmente) de lo mismo". Más interesantes son los casos, que discutiremos por extenso más adelante (cf. en el próximo apartado de esta sección el ejem- plo de la teoría de conjuntos y la aritmética, y para ejemplos empíricos el capítulo 11), en los que las teorías involucradas no comparten ni siquiera parcialmente el material concep- tual, esto es, cuando las teorías parecen en principio estar hablando de cosas diferentes y se descubre que una teoría reduce otra. Este tipo de situaciones tienen el máximo interés desde el punto de vista metacientífico, como veremos, por su relevancia en los fenómenos de cambio teórico y sus implicaciones epistemológicas y ontológicas (cap. 13).


1.3. ARITMÉTICA, TEORÍA DE CONJUNTOS Y LÓGICA PROPOSICIONAL


Acabaremos dando algunos ejemplos de teorías axiomáticas pertenecientes al campo de las ciencias formales, más interesantes a efectos ilustrativos que nuestra in-

ANÁLISIS SINCRÓNICO DE TEORÍAS 1 27 9
ventada teoría del parentesco pues corresponden a casos reales de teorías axiomati- zadas.
Aritmética de Peano (AP):

AP, axiomatizada por Peano (y Dedekind) a finales del siglo xtx, pretende siste- matizar axiomáticamente las verdades conocidas y utilizadas informalmente desde anti- guo sobre los números naturales y sus propiedades, relaciones y operaciones básicas.


Términos primitivos.

C 1. Número natural (relator monádico) C2. Cero (término singular)

C3. El siguiente de (functor monádico) Axiomas:

Al. Si un objeto es número natural, su siguiente también lo es. A2. El cero es un número natural.

A3. El cero no es el siguiente de ningún número natural. A4. Dos objetos con el mismo siguiente son el mismo.

A5. Si el cero tiene una propiedad (p y el que un número natural sea cp implica que su siguiente también es (p, entonces todo número natural tiene la propie- dad (p.
(Nótese que A5 no es exactamente un único axioma sino lo que se denomina un esquema axiomático, un axioma con una (meta)variable libre (p, en este caso una variable para pro- piedades, que da lugar a axiomas específicos para cada ejemplificación concreta de la variable.)
Teoremas:

TI. El siguiente del siguiente del cero es un número natural.

T2. El siguiente del siguiente del cero no es el siguiente del cero. T3. Cero no es el siguiente del siguiente de cero.

Definiciones:



DI. Uno = ,,,f el siguiente de cero. D2. Dos = def el siguiente de uno. D3. Tres = def
D4. Suma (functor binario: la suma de ... y ...):

a) x más cero = def x

b) x más el siguiente de y = defel siguiente de (x más y). D5. Producto (functor binario):

a) x por cero = def cero

b) x por el siguiente de y = d fx más (x por y).

D6. x 5 y syss,,efexiste un número natural z tal que x más z = y. D7. x es par syss,ef existe un natural z tal que x = dos por z.



280
FUNDAMENTOS DE FILOSOFÍA DE LA CIENCIA

(D4 y D5 son lo que se denomina definiciones recursivas; intuitivamente: el resultado de la operación de un número con otro diferente de cero se da en función del resultado con el anterior del segundo -cláusula b)-; como además se da el resultado de operar cualquier número con el cero -cláusula a)-, queda bien definida la operación para cualesquiera números, pues todos los números surgen del cero mediante la función siguiente.)

Teoremas:

T4.




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