Capítulo V



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Esteban colecciona monedas. El 28/4, para saber (y recordar) cuántas monedas tiene, él hace anotaciones agrupándolas por tamaño. La maestra “traduce”, por las dudas.


Quince días después, Esteban tiene muchas más monedas y se ve obligado a encontrar una manera más clara de anotar Hace entonces una tabla a partir de la cual podrá evocar fácilmente, la próxima vez, cuántas monedas de cada tipo había en su colección. El 12/5: 3 monedas de 50 centavos, 7 monedas de 1000 australes, 14 monedas de 25 centavos... Va sumando los datos que ha anotado (3 + 7 + 14 + 8 + 3) y, cuando obtiene este resultado (35), lo anota y pide ayuda. Sumar 35 + 31 es demasiado para él. La maestra y sus compañeros cuentan con él y es así como –juntos– determinan que la colección de Esteban tiene ahora 66 monedas.


Ilustración 3



1.3. A la búsqueda de regularidades
El papel de las regularidades pudo vislumbrarse ya, tanto en las situaciones de comparación como en las de producción o interpretación. En el primer caso, las situaciones apuntan precisamente a la elaboración de regularidades, ya que eso y no otra cosa son los criterios de comparación. En el segundo caso, se evidenciaron sobre todo a través de los argumentos utilizados por los chicos para fundamentar o rechazar ciertas escrituras numéricas.

¿Cuáles son las regularidades sobre las cuales es necesario trabajar? Cobran especial importancia –además de los criterios para ordenar números– “leyes” como “los 'dieces' van con dos, los 'cienes' van con tres”; “después de nueve viene cero y el otro número pasa al siguiente”; “hay diez números (de dos cifras) que empiezan con uno, diez que empiezan con dos...”

Establecer regularidades cumple un doble objetivo: hace posible plantear problemas dirigidos a explicitar la organización del sistema y permite generar avances en el uso de la numeración escrita.

Formular preguntas acerca de las razones que explican las regularidades sólo tiene sentido una vez que los chicos las han descubierto; alentar la búsqueda de respuestas sólo tiene sentido cuando los chicos están en condiciones de hacerse cargo de las preguntas.

El recorrido didáctico invierte así el orden en que se planteó la relación causa-consecuencia para aquellos que inventaron el sistema de numeración: para éstos, las regularidades son consecuencia de la posicionalidad, regla fundamental del sistema; para quienes no tienen que inventar un sistema sino comprender el que ya existe, las regularidades se hacen presentes antes que las causas que las generaron.

Ahora bien, no es usual que los chicos se interroguen espontáneamente acerca de las causas e incluso ocurre a veces que la pregunta formulada por el maestro no encuentre ningún eco. La pregunta debe ser formulada, porque se trata de lograr que los chicos conceptualicen las reglas que rigen el sistema. Cuando la respuesta mayoritaria es “¡Y qué sé yo!, ¡los números se inventaron así!”, habrá que saber postergar la pregunta hasta un momento más propicio, aunque no muy lejano; si, en cambio, un grupo apreciable de la clase –no necesariamente la mayoría– se inquieta ante la pregunta y comienza a arriesgar alguna respuesta, valdrá la pena emprender la discusión. El momento propicio para volver a plantear la pregunta y también el grado de elaboración que alcancen las respuestas dependerán del conjunto de actividades que se estén realizando, y en particular de las regularidades establecidas en relación con las operaciones aritméticas (véase punto 2).

Las respuestas a las que aspiramos tienen aproximadamente la siguiente forma: los “cienes” van con tres cifras porque con dos se puede escribir sólo hasta nueve “dieces” y el cien tiene diez “dieces”; cuando tienen dos cifras, los que empiezan con tres son “treinti” y al lado se puede poner desde el cero hasta el nueve, si hay uno más es otro diez, es cuarenta y entonces ya no se pone tres, es cuatro...

Ahora bien, detectar regularidades es necesario –ya lo anunciamos– no sólo para avanzar en la comprensión del sistema; es imprescindible también para lograr un uso cada vez más adecuado de la notación convencional.

Si se quiere lograr –por ejemplo– que los chicos adquieran herramientas a partir de las cuales puedan autocriticar las escrituras basadas en la correspondencia con la numeración hablada, hay que garantizar la circulación de información referida a las regularidades. De este modo, se hace posible que argumentos como “éste (61053) no puede ser seiscientos cincuenta y tres, porque los cienes van con tres” –que en un principio son utilizados sólo por algunos chicos y en relación con la escritura de otros– lleguen a ser patrimonio de toda la clase y puedan aplicarse también a la propia escritura.

Un problema concreto planteado en el aula nos permitió descubrir que establecer regularidades es también un recurso para favorecer una adquisición tan básica como contar. En efecto, algunos chicos de primer grado, cuando tienen que pasar a la decena siguiente interrumpen el conteo o pasan directamente a cualquier otra decena cuyo nombre conocen. Si bien lo más habitual es que esta dificultad se presente cuando hay que pasar a veinte (“dieciocho, diecinueve... treinta”, por ejemplo), ya que esta denominación no evoca para nada –a diferencia de lo que ocurre con las de los otros nudos de las decenas– el nombre del dígito al que se refiere, también aparece con frecuencia en intervalos posteriores de la serie (“cuarenta y ocho, cuarenta y nueve... no sé más” o “treinta y ocho, treinta y nueve... cincuenta”).

¿Cómo intervenir para que estos chicos avancen en el manejo de la serie oral? Darles la respuesta sólo sirve para que la actividad emprendida pueda continuar –es decir para seguir contando lo que se está contando–; sugerirles que acudan a un portador puede ser más útil porque hace posible que los chicos, al tener que crear una manera de buscar, descubran por sí mismos la regularidad; proponer una actividad específica, como buscar en los números del uno al cien cuáles son los siguientes de los que terminan con nueve, es un buen recurso para lograr que los chicos puedan apropiarse de la regularidad y utilizarla no sólo cuando cuentan sino también cuando producen o interpretan.

En este caso, está claro que el análisis de una regularidad observable en la notación numérica –además de incidir en el progreso hacia la escritura convencional– contribuye al avance de la numeración hablada.

Ahora bien, las propuestas tendientes a favorecer el establecimiento de regularidades pueden partir de una consigna más o menos abierta: una consigna como “Encuentren en qué se parecen y en qué no se parecen los números que están entre el uno y el cuarenta” apunta a lograr que los chicos descubran por sí mismos la reiteración de la secuencia del cero al nueve para cada decena, y detecten cuál es el cambio que se produce al cumplirse cada una de esas secuencias; una consigna más específica, como “Ubiquen todos los números de dos cifras terminados en nueve, fíjense cuál es el siguiente de cada uno y piensen en qué se parecen” puede contribuir a precisar las conclusiones de la actividad anterior cuando ésta no ha conducido a todas las regularidades esperadas o a orientar a aquellos chicos que se desconciertan frente a una consigna abierta.

La realización de cualquiera de estas actividades se apoya, por supuesto, en la utilización de portadores como el centímetro, el almanaque o la regla.

Las regularidades estudiadas no fueron sólo las que habíamos previsto inicialmente, ya que los chicos –a través de sus argumentos– introdujeron otras que valió la pena someter al análisis de todo el grupo. Es lo que ocurrió, por ejemplo, cuando Bárbara y Jonathan plantearon una relación entre la denominación oral “ciento” y la existencia o no de ceros en las escrituras numéricas correspondientes (véanse las págs. 153-4). Para generalizar el interrogante y buscar la respuesta, se organizó una situación alrededor de la siguiente consigna: “Ubiquen en el centímetro los números que están entre cien y ciento cincuenta y fíjense qué pasa con los ceros en los números que se llaman 'ciento'..., ¿hay alguno que tenga ceros?, ¿cuáles tienen y cuáles no?”.

Una vez establecidas las regularidades para este intervalo, se podrá propiciar su generalización a través del uso de soportes que contengan números mayores. Como de costumbre, una vez establecida la regularidad, será posible comenzar a preguntarse por su significado.

La cuestión de las regularidades no termina aquí. Volverán a aparecer en nuestro camino al analizar las relaciones entre las operaciones aritméticas y el sistema de numeración.



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