Capítulo 10: Comparación de tratamientos



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Capítulo 11: Comparación de varios tratamientos o grupos
Muchas preguntas de investigación en educación, psicología, negocios, industria y ciencias naturales tienen que ver con la comparación de varios grupos o tratamientos. Ya estudiamos como comparar diferencias entre dos tratamientos cuando las poblaciones son independientes, ahora nos interesa comparar más de dos poblaciones. La pregunta de interés del investigador será ¿existen diferencias significativas entre las medias de los tratamientos? Si comprueba que existen diferencias significativas, entonces le interesará saber ¿cuáles de las poblaciones o tratamientos comparados son diferentes?
Primero necesitamos saber cómo contestar la pregunta general. El procedimiento para determinar si existen diferencias significativas entre varias poblaciones o grupos se llama Análisis de Varianza, y nos vamos a referir a él usando las letras ANOVA por Analysis of Variance, en inglés. ANOVA es un nombre genérico y se usa para una variedad inmensa de modelos de comparación de medias, también conocido como diseño de experimentos. Por ahora sólo hablaremos del ANOVA simple, de un factor, o de una vía (one way ANOVA), que se refiere a la comparación de medias de dos o más tratamientos. Vamos a llamar factor a una variable cualitativa que usaremos para designar a los grupos o tratamientos a comparar. Los niveles del factor serán el número de tratamientos o grupos.
El análisis de varianza es similar al análisis de regresión y en realidad los dos pertenecen a la gran familia de los modelos lineales. Los modelos lineales se caracterizan por investigar la relación entre una variable respuesta cuantitativa y una o más variables explicatorias. Sin embargo el análisis de varianza difiere del análisis de regresión en que en el ANOVA las variables explicatorias son cualitativas o factores.
Lo que nos interesa en el análisis de varianza de una vía es extender el test t para dos muestras independientes, para comparar más de dos muestras.
ANOVA simple, de un factor, de una vía (one way ANOVA)
Caso 1: Un médico quiere comparar la efectividad de tres tratamientos para reducir el colesterol de pacientes con altos niveles de colesterol sanguíneo. Se asignan aleatoriamente 60 individuos a los tres tratamientos (20 en cada uno) y se registra la reducción de colesterol de cada paciente.
Caso 2: Una ecóloga está interesada en comparar la concentración de cadmio en 5 ríos. Recolecta 50 muestras de agua (10 muestras en cada río) y mide la concentración de cadmio.
En cada uno de los casos, describa:

  1. ¿cuál es el diseño de la investigación?

  2. ¿cuál es la variable respuesta?

  3. ¿cuál es el factor o variable explicativa?

  4. ¿cuántos niveles tiene cada factor?

Estos dos casos tienen similitudes. En ambos tenemos una variable respuesta cuantitativa (reducción del colesterol, concentración de cadmio) medida en varias unidades (personas y muestras de agua). Esperamos que la respuesta sea Normal en ambos casos. Queremos comparar varias poblaciones, tres tratamientos en el caso 1 y 5 ríos en el caso 2. El caso 1 es un experimento en el cual los pacientes son asignados aleatoriamente a los tratamientos. En el caso 2 es un estudio observacional simplemente se toman muestras de distintos ríos. En ambos casos podemos usar el ANOVA para analizar los datos.



El caso 1 se analizará mediante un análisis de varianza de un factor con 3 niveles. El caso 2 se analizará mediante un análisis de varianza de un factor con 5 niveles.
TOMATES

¿Porqué las plantas de tomate crecen con diferente tamaño? Un agricultor quiere comparar el efecto de tres fertilizantes (A, B y C) en el crecimiento de sus plantas de tomate. Seleccionó 15 plantas de tomate de una semana y las plantó en diferentes maceteros. Asignó aleatoriamente los 3 fertilizantes y se los administró a las plantas por 45 días. La figura muestra la altura de las plantas (en cms) según cada fertilizante.


¿Qué ocurrió con la altura de estas plantas? Las plantas de tomate son todas de la misma variedad y de la misma edad. Además recibieron el mismo cuidado. ¿Qué razones hay para que las plantas crezcan a diferente altura?




Figura: altura de plantas en centímetros según tres tipos de fertilizantes.
DATOS: Altura de plantas de tomates tratadas con distintos fertilizantes




Fertilizante




A

B

C

31

41

35

32

42

36

36

43

36

38

44

37

39

46

38


¿De qué manera podríamos comparar estos tres tratamientos?

La respuesta natural sería comparar cada par de tratamientos o grupos con una prueba t para muestras independientes. Sin embargo, no es correcto hacer pruebas t de Student entre todos los pares posibles de medias ya que se altera el nivel de significación fijado para cada una de las pruebas. Específicamente, aumenta la probabilidad de encontrar diferencias donde no existen, es decir aumenta el Error Tipo I.



Si tenemos 3 grupos, son 3 comparaciones posibles. En el Ejemplo A con B, A con C y B con C. Si tenemos 4 tratamientos el número posible de pares de pruebas sería . El test de ANOVA permite el estudio simultáneo de las diferencias con un nivel fijo de significación.


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