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muestreo aleatorio simple



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 El muestreo aleatorio simple, es un procedimiento de selección, donde todos los elementos de una población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en una muestra.

 La distribución muestral, es la distribución de los valores individuales en una muestra, la cual sea representativa de la población. Cabe señalar que el valor de una estadística muestral varia de una muestra a otra, a causa de la variabilidad del muestreo aleatorio, o el error de muestreo.

 La media ( es el promedio aritmético de los valores ya sea de la población o de la muestra.

 La varianza (2) indica en promedio que tan alejados están los datos de la media, es el promedio de la suma de los cuadrados de las desviaciones, entendiéndose como desviación la diferencia de un datos con respecto a la media.

 La desviación típica o estándar (), es la raíz cuadrada de la varianza.

 La distribución muestral de medias, es el conjunto de todas las medias, de todas las muestras posibles que se pueden extraer, con o sin replazo de una determinada población.

 Con reemplazamiento se entiende que para integrar una muestra, se selecciona una unidad elemental y luego esta se regresa a la población antes de tomar la siguiente unidad, y sin reemplazamiento, la unidad seleccionada no es regresada a la población. Como es observable una unidad elemental puede repetirse con el primer método.

El Teorema del Límite central determina la incertidumbre acerca del error cuando usamos la media de una muestra para estimar la media de una población. Nos sirve para muestral grandes, se puede obtener una aproximación cercana de la distribución muestral de la media con una distribución normal. Justifica el uso de métodos de curva normal en una gran variedad de problemas, se aplica a poblaciones infinitas y también a poblaciones finitas cuando el tamaño de la muestra, a pesar de ser grande, no constituye más que una pequeña porción de la población.

La Distribución t de Student es utilizada para estimar la media poblacional a partir de una muestra pequeña, o sea menores a 30. Existen varias, cada una asociada con el grado de libertad, esto es el numero de observadores menos uno.

La Distribución Ji cuadrada tiene por objeto comparar la media de una muestra hipotética de una población, en un muestreo pequeño. Se utiliza para comprara la varianza de una muestra con la varianza Hipotética de una población.  Se denota con la letra griega X(Ji) elevada al cuadrado. Este método corresponde al campo de la estadística paramétrica. Igual que la distribución t depende del numero de grados de libertad asociados al problema.

Un estimador es una estadística de muestra utilizada para estimar un parámetro de población. La media de la muestra (0) puede ser un estimado de la media de la población () y la porción de la muestra se puede utilizar como estimador de la porción de la población. Mientras que una estimación es una valor específico observado de una estadística, hacemos una estimación si tomamos una muestra y calculamos el valor que toma nuestro estimador es esa muestra.

Las cualidades de un buen estimador son: Imparcialidad (No sesgado), eficiencia, coherencia y suficiencia.

Para buscar el mejor estimador, la muestra debe ser distribuida de manera simétrica, en la que los valores de la mediana y de la media coinciden.

Una estimación puntual es un solo numero que se utiliza para estimar un parámetro de población desconocido, una desventaja es que a menudo resulta insuficiente, debido a que solo tiene dos opciones, correcta o equivocada. Una estimación de intervalo, se utiliza para la estimación  de intervalo de un parámetro de población, teniendo un mayor margen en la estimación.

Un estimador insesgado es una  estadística muestral cuyo valor esperado es igual al parámetro por estimar. La eliminación de todo sesgo se asegura cuando la estadística muestral corresponde a una muestra aleatoria tomada de una población o un subgrupo racional.

 En los Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias con el uso de la distribución normal, el uso de la distribución normal se basa en las mismas condiciones que en el caso de la distribución de muestreo de la media, salvo que están implicadas dos muestras. El error estándar pertinente para la distribución de muestreo es el error estándar de la diferencia entre medias.

El uso de la distribución t e intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias, es necesario cuando: Se desconocen las desviaciones estándar de la población, las muestras son pequeñas, se supone que las poblaciones tiene una distribución aproximadamente uniforme, las dos varianzas poblacionales (desconocidas) son iguales.

La determinación de un intervalo de confianza para una proporción poblacional desconocida con base en el proceso de Bemoulli son complejo, los libros de texto recomiendan se utilice la distribución normal con aproximación de la solución exacta de intervalos de confianza para la proporción de la población.

Para la determinación del tamaño de muestra requerido para la estimación de la proporción, puede determinarse especificando el nivel de confianza requerido y el error de muestreo aceptable y haciendo una estimación inicial (subjetiva) de la proporción poblacional desconocida.

Los intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones, se basa en las mismas condiciones que las expuestas en relación con la distribución de muestreo de la proporción, salvo que este caso involucra a dos muestras y los requerimientos se aplican a cada una de ellas. 

  En la distribución Ji cuadrada e intervalos de confianza para la varianza y desviación estándar, las distribuciones Ji cuadradas no son simétricas, en consecuencia, un intervalo de confianza de dos extremos para una varianza o desviación estándar implica el uso de dos valores diferentes de X2, no del método “de mas o menos” utilizados en los intervalos de confianza basados en las distribuciones normales y t.

Las pruebas de hipótesis paramétricas tienen como propósito determinar si el valor supuesto (hipotético) de un parámetro poblacional, como la media de la población, debe aceptarse como verosímil con base en evidencias muestrales. Existen tres procedimientos, los cuales conducen a las mismas decisiones cuando se emplean los mismos estándares de probabilidad (y riesgo), estos son: método del valor crítico, método del valor P,  método de intervalos de confianza.

En el Método del valor crítico,  se determinan los así llamados valores críticos de la estadística de prueba que dictarían el rechazo de una hipótesis, tras de lo cual la estadística de prueba observada e compara con los valores críticos.

El método del valor P, se basa en la determinación de la probabilidad condicional de que el valor observado de una estadística muestral puede ocurrir al azar, dado que un supuesto particular sobre el valor del parámetro poblacional asociado sea en efecto correcto.

El método de intervalos de confianza, se basa en la observación de si el valor supuesto de un parámetro poblacional está incluido en el rango de valores que define a un intervalo de confianza para ese parámetro.

En la prueba de una hipótesis referente a la media usando la distribución normal, puede usarse para probar un valor hipotético de la media de la población,  si n  30, o bien cuando n < 30 pero la población tiene una distribución normal y a es conocida.

 Errores Tipo I y Tipo II en pruebas de hipótesis

 En la probabilidad de Error tipo I, por definición, la proporción de área en la región de rechazo es igual a la proporción de los resultados muestrales que ocurrirían en esa región en caso de que la hipótesis nula sea cierta.

 La probabilidad del error tipo II hincado con la letra griega  (beta), la única manera en que se puede determinar es respecto de un valor específico incluido en el rango de la hipótesis alternativa.

Para la determinación del tamaño de muestra requerido para probar la media, puede determinarse especificando: El valor hipotético de la media, un valor alternativo específico de la media tal que la diferencia con el valor hipotético nulo se considere importante, el nivel de significancia por emplear en la prueba, la probabilidad del error tipo II que habrá de permitirse y el valor de la desviación estándar de la población .



Prueba de una hipótesis referente a la media usando la distribución t, el procedimiento es idéntico al descrito anteriormente para la distribución normal, excepto por el uso de t en lugar de z como la estadística de prueba.

Método del valor P para pruebas de hipótesis referentes a la media de la población, se determina por medio del método del valor P, probabilidad que se compara después con el nivel de significancia a asignado, la idea es que un valor P bajo indica que es poco probable que la muestra ocurra cuando la hipótesis nula es cierta; por lo tanto, la obtención de un valor P bajo conduce al rechazo de la hipótesis nula.

 

Método de intervalos de confianza para pruebas de hipótesis referentes a la media, de acuerdo con este método se elabora un intervalo de confianza para la media de la población con base en los resultados muestrales, tras de lo cual observamos si el valor hipotético de la media poblacional está incluido en el intervalo de confianza.

 Pruebas respecto de la media del proceso en el control estadístico de procesos, la hipótesis nula es que el proceso es estable y que sólo existen causas comunes de variación. La hipótesis alternativa es que el proceso es inestable e incluye variación por causas atribuibles.

 Pruebas de la diferencia entre dos medidas usando la distribución normal, . el uso de la distribución normal se basa en las mismas condiciones que en el caso de una muestra, excepto que están implicadas dos muestras aleatorias independientes. Es similar al de la prueba de una hipótesis referente al valor de una media poblacional, sólo difiere en que el error estándar de la diferencia entre las medias se usa para determinar el valor z (o t) asociado con el resultado muestral.

 Prueba de la diferencia entre medias usando la distribución t, cuando la diferencia entre dos medias se prueba con el uso de la distribución t, un supuesto necesario en el procedimiento estándar, es que las varianzas de las dos poblaciones son iguales.

 Prueba de la diferencia entre medias con base en observaciones apareadas, en muchas situaciones las muestras se recolectan como pares de valores, como cuando se determina el nivel de productividad de cada trabajador antes y después de un curso de capacitación. Estos valores se llaman observaciones apareadas o pares asociados.

 Prueba de una hipótesis referente al valor de la proporción de la población, Ésta es la base para la determinación de intervalos de confianza para la proporción, en la que también se explica el error estándar de la proporción, sin embargo, en el caso de intervalos de confianza se requiere por lo general de un tamaño de muestra de al menos n = 100.

 Determinación del tamaño de muestra requerido para probar la proporción, puede determinarse especificando: el valor hipotético de la proporción, un valor alternativo específico de la proporción tal que la diferencia con el valor hipotético nulo se considere importante, el nivel de significancia por aplicar en la prueba y la probabilidad de error tipo II que se permitirá.

 Pruebas respecto de la proporción del proceso en el control estadístico de procesos, al igual que en el caso de la media del proceso, los límites de control para una proporción del proceso se definen en ±3 unidades de error estándar para el valor hipotético (aceptable).

 Prueba de la diferencia entre dos proporciones poblacionales, las dos proporciones muestrales se combinan como base para determinar el error estándar de la diferencia entre proporciones, las dos varianzas muestrales se combinan como base para calcular el error estándar de la diferencia entre medias.

 

Prueba de un valor hipotético de la varianza usando la distribución Ji cuadrada, La prueba puede ser una prueba unilateral o una prueba bilateral, aunque las hipótesis más frecuentes sobre una varianza poblacional se relacionan con pruebas unilaterales.

 Pruebas respecto de la variabilidad del proceso en el control estadístico de procesos, La variabilidad del proceso se vigila y controla ya sea respecto de la desviación estándar del proceso o del rango del proceso.

 Distribución F y prueba de la igualdad de dos varianzas poblacionales, dado que cada varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza de la misma población, el valor esperado a largo plazo de la razón anterior es de alrededor de 1.0.

 Otros métodos para la prueba de hipótesis nulas, Si se aplica el método del valor P, en lugar de comparar el valor observado de una estadística de prueba con un valor crítico, la probabilidad de ocurrencia de la estadística de prueba, dado que la hipótesis nula es cierta, se determina y compara con el nivel de significancia.

 Estadísticas no paramétricas.

 Escalas de medición, podemos considerar que son cuatro tipos de escalas de medición en términos de la precisión representada por los valores reportados.

 Nominal - los números sólo se usan para identificar categorías.

Ordinal - los números representan rangos o jerarquías.

Intervalo - se representan medidas que son diferencias entre valores.

De razón - sí existe un punto cero real, y en consecuencia las medidas pueden compararse en forma de razones.



Métodos estadísticos paramétricos contra no paramétricos – La base para un análisis paramétrico es algún parámetro de la población teniendo una distribución conocida, con medidas tomadas en la escala de intervalo o razón. En caso de no tenerse uno o más de estos requisitos o supuestos, pueden usarse los métodos no paramétricos, conocidos también como métodos libres de distribución.

 Prueba de corridas para aleatoriedad – Se conoce como corrida a una serie de observaciones similares, la prueba de corridas se usa para probar la aleatoriedad de una serie de observaciones cuando cada observación puede ser asignada a una de dos categorías.

 Una muestra: Prueba de los signos - es el equivalente no paramétrico a la prueba de una hipótesis referente al valor de la media de la población.

Una muestra: Prueba de Wilcoxon - puede usarse para probar una hipótesis nula referente al valor de la mediana de la población, como es considera la magnitud de la diferencia entre cada valor muestral y el valor hipotético de la mediana, es una prueba más sensible que la prueba de los signos.

Dos muestras independientes: Prueba de Mann-Whitney - puede utilizarse para probar la hipótesis nula de que las medianas de dos poblaciones son iguales. Se supone que las dos poblaciones tienen la misma forma y dispersión, porque tales diferencias también podrían conducir al rechazo de la hipótesis nula

Observaciones apareadas: Prueba de los Signos - puede usarse para probar la hipótesis nula de que las dos medianas de la población son iguales, los valores muestrales deben estar al menos en la escala ordinal, y no se requiere de ningún supuesto acerca de las formas de las dos distribuciones poblacionales.

 Observaciones apareadas: Prueba de Wilcoxon - puede usarse para probar la hipótesis nula de que las dos medianas de la población son iguales, dado que considera la magnitud de las diferencias entre los valores de cada par asociado, y no sólo la dirección o signo de la diferencia, es una prueba más sensible que la prueba de los signos.

 

Varias muestras independientes: Prueba de Kruskal-Wallis - sirve para probar la hipótesis nula de que varias poblaciones tienen las mismas medianas, así, es el equivalente no paramétrico del diseño completamente aleatorizado de un factor de análisis de varianza.

 Muestreo

Los estudios, análisis o investigaciones, tienen como objetivo hacer generalizaciones acertadas con base en muestras, suponiendo que estamos manejando las llamadas muestras aleatorias, sin embargo, el muestreo aleatorio no siempre es viable o aun deseable.

Muestreo Aleatorio - Existen dos clases de poblaciones: las finitas y las infinitas. Una muestra de una población infinita es aleatoria si consta de valores de variables aleatorias independientes que tienen la misma distribución.

 Diseños de muestras - es un plan definitivo, determinado por completo antes de recopilar cualquier dato, para tomar una muestra de una población de referencia.

 Muestreo sistemático - la manera más práctica de efectuar un muestreo consiste es seleccionar, digamos, cada vigésimo nombre de una lista, cada decimasegunda casa de un lado de una calle. Se puede integrar un elemento de azar en esta clase de muestreo usando números aleatorios para seleccionar la unidad en la que se debe comenzar.

Muestreo estratificado - Este es un procedimiento que consiste en estratificar (o dividir) en un número de subpoblaciones o estratos que no se traslapen y luego tomar una muestra de cada estrato.

Muestreo por conglomerados - se divide la población total en un número determinado de subdivisiones relativamente pequeñas y se seleccionan al azar algunas de estas subdivisiones o conglomerados para incluirlos en la muestra general.

 

 Bibliografía



Bonilla Gildaberto, Métodos prácticos de inferencia estadística, Trillas 1991. ISBN 968-24-3960-4.

Kazmier Leonard J., Estadística aplicada a la administración y a la economía, McGrawHill, 3ª ed 1998. ISBN 970-10-0961-4.

Freund John E. y Simon, Estadística elemental, Prentice Hall, 8ª ed 1994. ISBN 0-13-602699-0.

Levin Richard I y Rubin, Estadística para administradores, Prentice may, 6a ed, ISBN 968-880-675-7



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