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La distribución t de Student



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2.4 La distribución t de Student

 Cuando hicimos la estimación por intervalo por medio de la distribución Z, o sea, con un muestreo grande (n  30), establecimos el intervalo de confianza para estimar la media poblacional, así: 0 ± Z n, dado que conocíamos la desviación típica de la población, . Sin embargo, cuando no conocemos este valor, establecimos que se podía sustituir por la desviación típica muestral S, y el intervalo quedaba así: 0 ±  Z S /n . Ahora, cuando el tamaño de la muestra es menor que 30, o sea, para el que llamamos muestreo pequeño, la sustitución de por S no es apropiada; en consecuencia, se hace necesario considerar una forma alternativa para estimar la media poblacional a partir de una muestra pequeña.

 Muchos problemas científicos han sido resueltos por la vía de la experimentación. Supongamos que se toman todas las muestras posibles, de tamaño n menor que 30, de una determinada población con distribución normal, y se calcula la estadística de prueba t para construir un polígono de frecuencias con los valores calculados 0 y S de cada una de estas muestras y visualizar así la forma de la distribución. t se define así:

 

 (El signo en la parte superior de  indica que se trata de un estimador.)

 Donde

 



 o sea, el error estándar de la distribución muestral de medias.

  = media poblacional.

 La distribución t queda así:

 Esta distribución t fue descubierta por William Gosset, quien la publicó en 1908 con el seudónimo de Student. Desde entonces se le conoce como distribución t de Student. Por la naturaleza de este ensayo, omitimos la explicación matemática de esta distribución. Sólo manejaremos su aplicación para la estimación y prueba de hipótesis. Al igual que la distribución Z, la distribución t tiene forma acampanada y perfectamente simétrica con respecto a t = 0, pero con una dispersión mayor, la cual aumenta a medida que disminuye el tamaño de la muestra.



 

Antes de estudiar la distribución t debemos señalar que no sólo existe una, sino varias distribuciones t. Cada una de ellas está asociada con lo que se denomina grados de libertad (v), que se definen como el número de observaciones menos uno; es decir, v = n - 1. En otras palabras, la forma de la distribución dependerá del tamaño de la muestra. Por ejemplo, los valores de t para muestras de tamaño 4 quedan descritos por la distribución t con tres grados de libertad (4 - 1 = 3); la distribución t con 29 grados de libertad describe la distribución de los valores t para muestras de tamaño 30. En la figura 2 ilustramos dos distribuciones t con tres y 29 grados de libertad y la distribución normal:



 

 

Figura 2 Comparación de dos distribuciones t con la distribución normal.


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