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Muestreo  7.1 Introducción



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7. Muestreo

 7.1 Introducción.

 El principal objetivo de la mayoría de los estudios, análisis o investigaciones, es hacer generalizaciones acertadas con base en muestras de poblaciones de las que se derivan tales muestras. Obsérvese la palabra "acertadas" porque no es fácil responder cuándo y en qué condiciones las muestras permiten tales generalizaciones. Por ejemplo, si queremos calcular la cantidad de dinero promedio que una persona gasta en unas vacaciones, ¿tomaríamos como una muestra las cantidades que gastan los pasajeros de primera clase de un crucero de cuatro días; o trataríamos de estimar o pronosticar el precio al mayoreo de todos los productos agrícolas únicamente con base en el precio de los espárragos frescos? Es obvio que no, pero saber a qué vacacionistas y qué productos agrícolas debemos incluir en las muestras no es algo intuitivo ni evidente.

 En la mayor parte de los métodos que estudiaremos en lo que resta del libro, supondremos que estamos manejando las llamadas muestras aleatorias. Hacemos énfasis en las muestras aleatorias, que estudiamos y definimos en la sección anterior porque permiten generalizaciones válidas o lógicas. No obstante, como veremos, el muestreo aleatorio no siempre es viable o aun deseable, mencionaremos algunos procedimientos alternativos de muestreo.

 El concepto relacionado de una distribución de muestreo, que nos indica cómo las cantidades determinadas con base en muestras pueden variar de una muestra a otra. Luego, de la secciones anteriores aprenderemos cómo se pueden medir, pronosticar o inclusive controlar tales variaciones de la probabilidad.

 7.2 Muestreo Aleatorio

 Diferenciamos entre poblaciones y muestras, señalando que una población consiste en todas las observaciones concebible (o hipotéticamente) posibles de un fenómeno determinado, mientras que una muestra es sólo una parte de una población. En seguida, también diferenciaremos entre dos clases de poblaciones: las poblaciones finitas y las poblaciones infinitas.

 Una población es finita si consta de un número finito o fijo de elementos, medidas u observaciones. Como ejemplos de poblaciones finitas podemos mencionar los pesos netos de 3,000 latas de pintura de cierta producción, las calificaciones SAT de todos los estudiantes de primer año admitidos en una preparatoria determinada en el otoño de 1991 y las temperaturas diarias registradas en una estación meteorológica durante los años de 1987 a 1991.

 A diferencia de las poblaciones finitas, una población infinita, al menos hipotéticamente, contiene una infinidad de elementos. Este es el caso, por ejemplo, cuando observamos un valor de una variable aleatoria continua y hay una infinidad de resultados distintos. También es el caso cuando observamos los totales obtenidos en lanzamientos repetidos de un par de dados, cuando medimos en repetidas ocasiones el punto de ebullición de un compuesto de silicio y cuando tomamos una muestra con reemplazo de una población finita. No hay límite para los números de veces que podemos lanzar un par de dados, para el número de veces que podemos medir el punto de ebullición del compuesto de silicio, ni para el número de veces que podemos tomar una muestra de una población finita y reemplazarla antes de tomar la siguiente.

 Para presentar la idea del muestreo aleatorio de una población finita primero veamos cuántas muestras diferentes de tamaño n podemos tomar de una población finita de tamaño N. Refiriéndonos a la regla para el número de combinaciones de n objetos tomando r a la vez de la página 101, encontramos que, con un cambio de las letras, la respuesta es '

 EJEMPLO     ¿Cuántas muestras distintas de n podemos tomar de una población finita de tamaño N, cuando

 (a) n = 2 y N = 12;

 (b) n = 3 y N = l00?

 Solución



        



Con base en el resultado de que hay  muestras distintas de tamaño n de una población finita de tamaño N, presentaremos la siguiente definición de una muestra aleatoria (en ocasiones conocida también como muestra aleatoria simple) de una población finita:

 Una muestra de tamaño n de una población finita de tamaño N es una variable aleatoria si se selecciona de manera tal que cada una de las  muestras posibles tiene la misma probabilidad, de ser seleccionada. 

Por ejemplo, si una población consiste en los N = 5 elementos a, b, c, d y e (que podrían ser los ingresos anuales de cinco personas, los pesos de cinco vacas o los precios de cinco artículos), hay muestras posibles de tamaño n = 3. Estas constan de los elementos abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde y cde. Si seleccionamos una de estas muestras- de tal forma que cada muestra tenga una probabilidad de 1/10 de ser seleccionada, decimos que ésta es una muestra aleatoria.

 A continuación sigue la pregunta de cómo se toman las muestras aleatorias en la práctica real en una situación simple como la que acabamos de describir, podríamos escribir cada una de las diez muestras aleatorias en una tira de papel, ponerlas en un sombrero, revolverlas bien y luego retirar una sin ver. Empero, es obvio que esto sería poco práctico en una situación real complicada en la que n y N o sólo N son grandes. Por ejemplo, para n = 4 y N = 200 tendríamos que clasificar  = 64,684,950 tiras de papel y retirar una de éstas.

 Por fortuna, podemos tomar una muestra aleatoria de una población finita sin hacer una lista de todas las muestras posibles, que hemos mencionado aquí sólo para enfatizar el punto de que la selección de una muestra aleatoria debe depender por completo del azar. En vez de hacer una lista de todas las muestras posibles, podemos escribir cada uno de los N elementos de la población finita en una tira de papel y retirar n de éstas a la vez sin reemplazo, asegurándonos de que cada vez que retiremos otro papel todos los elementos restantes de la población tengan la misma posibilidad de ser seleccionados. Como se pedirá al lector que lo verifique en el ejercicio 10. 14 de la página 248, este procedimiento también lleva a la misma probabilidad, -, para cada muestra posible.

 Podemos simplificar aún más este procedimiento relativamente fácil seleccionando números aleatorios en vez de retirar tiras de papel o bien, podemos dejar que una computadora haga todo el trabajo. Como señalamos en la página 205, las tablas editadas de números aleatorios (como la que se condensó en la tabla XI, de este libro) consisten en páginas en las que se disponen los dígitos 0, 1, 2,..., y 9 en forma parecida a si se generaran por medio de un juego de probabilidad o azar que da a cada dígito la misma probabilidad, 1/10, de aparecer en cualquier lugar determinado de la tabla.

 EJEMPLO     Tome una muestra aleatoria de tamaño n = 12 de la población consistente en las cantidades de impuestos sobre las ventas cobradas por 247 farmacias de una ciudad en diciembre de 1990 numerando las farmacias como 001, 002, 003,..., y 247 (digamos, en el orden en que aparecen en el directorio telefónico) y leyendo números aleatorios de tres dígitos de la segunda página de la tabla XI, usando la vigesimasexta, la vigesimaséptima y la vigesimaoctava columnas empezando en el sexto renglón y continuando página abajo.

 Solución         Siguiendo estas instrucciones, obtenemos

 046  230  079  022  119  150  056  064  193  232  040  146

 donde ignoramos los números mayores que 247; sí cualquier número se hubiera repetido, también lo habríamos ignorado. Los doce números que tenemos aquí son los números asignados a las farmacias; las cifras de impuestos sobre las ventas correspondientes constituyen la muestra aleatoria deseada.

 

El procedimiento que usamos en este ejemplo fue bastante sencillo, pero lo habría sido más si hubiéramos tenido el software que deja la mayor parte del trabajo a una computadora. Por ejemplo, la impresión de la figura 11 presenta una muestra aleatoria generada por computadora de tamaño n = 12 de la población finita que consta de los números 1, 2, 3,..., 246 y 247. Los valores de la muestra son 197, 147, 82, 171, 60, 39, 51, 129, 71, 45, 86 y 224.



 

Figura 11 Muestra aleatoria generada por computadora.

 Cuando tenemos acceso a listas de manera que podemos numerar artículos fácilmente, es sencillo tomar muestras aleatorias con la ayuda de tablas de números aleatorios o computadoras. Por desgracia, no obstante, hay muchas situaciones en que es imposible proceder del modo en que acabamos de describir. Por ejemplo, si queremos utilizar una muestra para estimar el diámetro exterior medio de miles de balas para rodamientos empacadas en un lote grande o si deseamos estimar la altura media de los árboles de un bosque, sería imposible numerar las balas o los árboles, seleccionar números aleatorios y luego localizar y medir las balas o árboles correspondientes. En éstas y en muchas situaciones similares, todo lo que podemos hacer es proceder de acuerdo con la definición del diccionario de la palabra "aleatorio", específicamente, "al azar, sin objetivo o propósito". Esto es, no debemos seleccionar o rechazar ningún elemento de una población porque parezca típico o no, tampoco debemos favorecer o ignorar ninguna parte de la población por su disponibilidad o falta de la misma y así sucesivamente. Con cierta reserva, a menudo podemos tratar algunas de dichas muestras, de hecho, como si fueran muestras aleatorias.

 Hasta ahora hemos analizado el muestreo aleatorio sólo en relación con las poblaciones finitas. Para las poblaciones infinitas, decimos que

 Una muestra de tamaño n de una población infinita es aleatoria si consta de valores de variables aleatorias independientes que tienen la misma distribución.

 Como lo señalamos en relación con las distribuciones binomiales y normales, ésta es la "misma" distribución a la que nos referimos como la población de la que efectuamos un muestreo. Así mismo, por "independiente" queremos decir que las probabilidades relacionadas con cualquiera de las variables aleatorias son las mismas sin que tengan importancia los valores que se hayan observado para las otras variables aleatorias.

 

Por ejemplo, si en doce lanzamientos de un dado obtenemos 2, 5, 1, 3, 6, 4, 4, 5, 2, 4, 1 y 2, estos números constituyen una muestra aleatoria si son valores de variables aleatorias independientes que tienen la misma distribución de la probabilidad



Para dar otro ejemplo de una muestra aleatoria dé una población infinita, suponga que ocho estudiantes obtuvieron las siguientes lecturas del punto de ebullición de un compuesto de silicio: 136, 153, 170, 148, 157, 152, 143 y 150 grados Celsius. De acuerdo con la definición, estos valores constituyen una muestra aleatoria si son valores de variables aleatorias independientes que tienen la misma distribución, digamos, la distribución normal con    = 152 y = 10. Para juzgar si en realidad éste es el caso, tendríamos que cerciorarnos, entre otras cosas, de que las técnicas de medida de los ocho estudiantes sean igualmente precisas (de modo que sea la misma para cada una de las variables aleatorias), que no haya colaboración (que pueda hacer que las variables aleatorias sean dependientes) y que no haya impurezas en las materias primas.

 7.3 Diseños de muestras

 La única clase de muestras que hasta ahora hemos estudiado son las muestras aleatorias y no hemos considerado ni siquiera la posibilidad de que en ciertas condiciones pueda haber muestras que son mejores (digamos, más fáciles de obtener, más económicas o más informativas) que las muestras aleatorias y no hemos entrado en detalles sobre la pregunta de lo que podría hacerse cuando el muestreo aleatorio es imposible. De hecho, hay muchas otras maneras de seleccionar una muestra de una población y hay una gran cantidad de bibliografía sobre el tema de los procedimientos del diseño del muestreo.

 En estadística, un diseño de una muestra es un plan definitivo, determinado por completo antes de recopilar cualquier dato, para tomar una muestra de una población de referencia. Así, el plan de tomar una muestra aleatoria simple de 12 de 247 farmacias de una ciudad usando una tabla de números aleatorios de una manera específica constituye una muestra aleatoria. En las tres secciones siguientes estudiaremos brevemente algunas de las clases más comunes de diseños de muestras.

 7.4 Muestreo sistemático

 En algunos casos, la manera más práctica de efectuar un muestreo consiste en seleccionar, digamos, cada vigésimo nombre de una lista, cada decimasegunda casa de un lado de una calle, cada quincuagésima pieza de una línea de ensamble y así sucesivamente. Esto se conoce como muestreo sistemático y se puede integrar un elemento de azar en esta clase de muestreo usando números aleatorios para seleccionar la unidad en la que se debe comenzar. Aunque una muestra sistemática puede no ser una muestra aleatoria de acuerdo con la definición, a menudo es razonable tratar las muestras sistemáticas como si fueran muestras aleatorias; de hecho, en algunos casos, las muestras sistemáticas en realidad pueden ser mejores que las muestras aleatorias simples porque las primeras se extienden en forma más regular sobre las poblaciones enteras.

 

Si los miembros de la población aparecen secuencialmente en el tiempo, como en el caso de las piezas de una línea de producción o de automóviles que se aproximan a una caseta de peaje, el muestreo sistemático dispersara el trabajo del muestreo en el tiempo. Esta deseable característica del muestreo sistemático ayuda a reducir el número de errores de oficina.



 El verdadero riesgo del muestreo sistemático yace en la posible presencia de periodicidades ocultas. Por ejemplo, si inspeccionamos cada cuadragésima pieza fabricada por una máquina particular, los resultados serían poco acertados si, como consecuencia de un fracaso recurrente regularmente, cada décima pieza producida por la máquina tiene imperfecciones. Del mismo modo, una muestra sistemática podría dar resultados sesgados si entrevistamos a los residentes de cada decimasegunda casa a lo largo de cierta calle y así sucede que cada decimasegunda casa a lo largo de la calle es una casa en esquina o un lote doble.

 7.5 Muestreo estratificado

 Si tenemos información acerca de la constitución de una población (es decir, su composición) y ésta es importante para nuestra investigación, podemos mejorar el muestreo aleatorio por medio de la estratificación. Este es un procedimiento que consiste en estratificar (o dividir) en un número de subpoblaciones o estratos que no se traslapen y luego tomar una muestra de cada estrato. Si los artículos seleccionados de cada estrato constituyen muestras aleatorias simples, el procedimiento completo (primero la estratificación y luego el muestreo aleatorio) se conoce como muestreo aleatorio (simple) estratificado.

 Suponga, por ejemplo, que queremos estimar el peso medio de cuatro personas con base en una muestra de tamaño 2 y que los pesos (desconocidos) de las cuatro personas son 115, 135, 1 85 y 205 libras. Por tanto, el peso medio que queremos estimar es



Si tomamos una muestra aleatoria ordinaria de tamaño 2 de esta población, las

 = 6 muestras posibles son 115 y 135, 115 y 185, 115 y 205, 135 y 185, 135 y 205, y 185 y 205 y las medias correspondientes son 125, 150, 160, 160, 170 y 195. Obsérvese que ya que cada una de estas muestras tiene una probabilidad de 1/6 las probabilidades de que nuestro error (la diferencia entre la media de la muestra y = 160) sea 0, 10 o 35 son 1/3, 1/3 y 1/3. Ahora, suponga que sabemos que dos de estas personas son hombres y dos son mujeres y que los pesos (desconocidos) de los hombres son 185 y 205 libras, mientras que los pesos (desconocidos) de las mujeres son 115 y 135 libras. Estratificando la muestra (por sexo) y seleccionando aleatoriamente a uno de los dos hombres y a una de las dos mujeres, encontramos que sólo hay cuatro muestras estratificadas, 115 y 185, 115 y 205, 135 y 185, y 135 y 205. Las medias de estas muestras son 150, 160, 160 y 170 y ahora las probabilidades de que nuestro error sea 0 o 10 son 1/2 y 1/2 . Es evidente que la estratificación ha incrementado en gran medida nuestras probabilidades de tener una estimación buena (cercana) de] peso medio de las cuatro personas.

 Esencialmente, el objetivo de la estratificación es formar estratos de tal forma que haya alguna relación entre estar en un estrato particular y la respuesta que se busca en el estudio estadístico y que en los estratos separados haya tanta homogeneidad (uniformidad) como sea posible. En nuestro ejemplo existe tal relación entre el sexo y el peso y hay mucha menos variabilidad en el peso de cada uno de los dos grupos de la que hay en la población completa.

 En el ejemplo anterior, usamos la distribución proporciona¡, que implica que los tamaños de las muestras de estratos diferentes son proporcionales a los tamaños de los estratos. En general, si dividimos una población de tamaño N en k estratos de tamaño N1, N2,..., y Nk y tomamos una muestra de tamaño n1 del primer estrato, una muestra de tamaño n2 del segundo estrato,..., y una muestra de tamaño nk del Késimo estrato, decimos que la población es proporcional si

o si estas razones tienen casi la misma posibilidad. En el ejemplo sobre los pesos, tuvimos Ni = 2, N2 = 2, n1 = 1 y n2 = 1, de modo que



y de hecho, la distribución fue proporcional.

 Tamaños de muestra para la distribución proporcional

donde n = n1 + n2 + - - - + nk es el tamaño total de la muestra. Cuando es necesario, usamos los números enteros más próximos a los valores obtenidos por medio de esta fórmula.

 EJEMPLO     Se debe tomar una muestra estratificada de tamaño n = 60 de una muestra de tamaño N= 4,000, que consta de tres estratos de tamaño N1 = 2,000, N2 = 1,200 y N3 = 800. ¿Si la distribución debe ser proporcional, cuán grande debe ser la muestra tomada de cada estrato?

 Solución        Sustituyendo en la fórmula, obtenemos



Esto ilustra la distribución proporcional, pero debemos agregar que hay otras maneras de distribuir porciones de una muestra entre los diferentes estratos. Una de éstas, conocida como la distribución óptima, se describe en el ejercicio 10.26 de la página 254. No sólo maneja el tamaño del estrato, como en la distribución proporcional, sino que también maneja la variabilidad (o cualquier otra característica pertinente) del estrato.

 La estratificación no se limita a una variable única de clasificación o una característica y las poblaciones a menudo se estratifican de acuerdo con varias características. Por ejemplo, en una encuesta sistematizada diseñada para determinar la actitud de sus estudiantes, digamos, hacia un nuevo plan de enseñanza, un sistema estatal de educación preparatoria con 17 escuelas podría estratificar su muestra no sólo con respecto a las preparatorias, sino también en relación con el grado escolar, el sexo y la especialidad. Así, parte de la muestra se destinaría a los alumnos de sexo femenino de primer grado de la preparatoria A en la especialidad de ingeniería, otra parte de la muestra se distribuiría a los alumnos de sexo masculino de segundo grado de la preparatoria L en la especialidad de inglés y así sucesivamente. Hasta cierto punto, la estratificación como ésta, llamada estratificación cruzada, incrementará la precisión (confiabilidad) de ¡as estimaciones y otras generalizaciones y se usa comúnmente, en particular en el muestreo de la opinión y la investigación de mercado.

 En el muestreo estratificado, el costo de la toma de muestras aleatorias de los estratos individuales con frecuencia es tan alto que a los encuestadores sólo se les dan cuotas que deben cubrir de los diferentes estratos, con algunas restricciones (si no es que ninguna) sobre la manera en que las deben cubrir. Por ejemplo, al determinar las actitudes de los electores hacia las mejoras de los servicios de salud para las personas de edad avanzada, a un encuestador que trabaja en cierta área se le podría pedir que entreviste a 6 hombres que vivan en casa propia, trabajen en forma independiente y que sean menores de 30 años de edad, a 10 mujeres asalariadas de 45 a 60 años de edad que vivan en departamento, a 3 hombres jubilados mayores de 60 años que vivan en casas móviles y así en forma consecutiva, con la selección real a discreción del encuestador. Este procedimiento se conoce como un muestreo por cuotas y es conveniente, relativamente económico y en ocasiones necesario, pero como se efectúa con frecuencia, las muestras resultantes no tienen las características esenciales de las muestras aleatorias. Sin contar con ningún control a su disposición, los encuestadores tienden naturalmente a seleccionar a individuos a quienes se tiene acceso más fácil --personas que trabajan en el mismo edificio, personas que compran en la misma tienda o quizá residen en la misma área general. Por tanto, los muestreos por cuotas en esencia son muestras de la opinión y las inferencias basadas en tales muestras por lo regular no llevan a ninguna clase de evaluación estadística formal.

 

7.6 Muestreo por conglomerados

 Para ilustrar otra importante clase de muestreo, suponga que una gran empresa quiere estudiar los patrones variables de los gastos familiares en el área de San Diego. Al intentar elaborar los programas de gasto de 1,200 familias, la empresa encuentra que el muestreo aleatorio simple es prácticamente imposible, dado que no se cuenta con las listas adecuadas y el costo de ponerse en contacto con las familias dispersas en una vasta área (tal vez teniendo que llamar dos o tres veces a quienes no se encuentren en casa) es muy alto. Una manera en que se puede tomar una muestra de esta situación es dividiendo el área total de interés en varias áreas más pequeñas que no se traslapen, digamos, manzanas de una ciudad. Entonces se seleccionan algunas casas al azar, y toda! las familias (o muestras de éstas) que residen en estas manzanas constituyen la muestra definitiva.

 En este tipo de muestreo, llamado muestreo por conglomerados, se divide la población total en un número determinado de subdivisiones relativamente pequeñas y se seleccionan al azar algunas de estas subdivisiones o conglomerados para incluirlos en la muestra general. Si los conglomerados son subdivisiones geográficas, como en el ejemplo anterior, este muestreo se llama también muestreo por áreas. Para dar otro ejemplo del muestreo por conglomerados, suponga que el decano de estudiantes de una universidad quiere saber la opinión de la fraternidad hacia la escuela acerca de cierta disposición nueva. Puede tomar una muestra de conglomerados entrevistando a algunos o a todos los miembros de varias fraternidades seleccionadas al azar.

 Aunque las estimaciones basadas en el muestreo por conglomerados por lo general no son tan confiables como las estimaciones que se basan en muestras aleatorias simples del mismo tamaño, a menudo son más confiables por costo unitario. Refiriéndonos de nuevo a la encuesta sobre los gastos familiares en el área de San Diego, es fácil apreciar que bien puede ser posible tomar una muestra de conglomerados de varias veces el tamaño de una muestra aleatoria simple por el mismo costo. Es mucho más económico visitar y entrevistar en conjunto a familias que viven cerca que seleccionar al azar a familias que viven en un área extensa.

 En la práctica, se pueden aplicar varios de los métodos de muestreo que hemos analizado para el mismo estudio. Por ejemplo, si estadistas del gobierno quieren estudiar la opinión de los profesores de escuelas primarias estadounidenses hacia ciertos programas federales, podrían estratificar primero el país por estados o algunas otras subdivisiones geográficas. Para tomar una media de cada estrato, podrían usar el muestreo de conglomerados subdividiendo cada estrato en un número determinado de subdivisiones geográficas más pequeñas (digamos, distritos escolares) y finalmente podrían usar un muestreo aleatorio simple o un muestreo sistemático para seleccionar una muestra de profesores de educación primaria de cada conglomerado.

 

Conclusiones

 

La estadística es la rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar, y analizar información cuantitativa o cualitativa, y deducir de ella, gracias al análisis de estos datos, unos significados precisos o unas previsiones para el futuro, siendo un auxiliar en la toma de decisiones al proporcionar variaciones, detección de patrones y relaciones de datos económicos y administrativos.



 Por el tipo de información que se trate, podemos dividir la estadística en dos categorías, la estadística descriptiva que trabaja con todo el universo de la población, por ejemplo la venta de una empresa, en la cual se consideran la totalidad de los productos o servicio facturados, y la estadística inferencial, que utiliza para su manejo solo una muestra representativa de la población, como por ejemplo con la estatura promedio de una escuela, se puede inferir la estatura promedio de la población estudiantil de ese grado de estudio.

 A las características medidas de una muestra se les llama estadística muestral, y a las características medidas de una población estadística, o universo, se les llama parámetros de la población. En otras palabras las características de una muestra se llaman estadísticas, y las características de una población se llaman parámetros.

 En estadística se conoce como población al agregado de todas la unidades individuales, sean personas, cosas..., que se hallan en una situación determinada, pudiendo ser estas finitas e infinitas. Una muestra es solo una parte de la población.

Por claridad, para la representación de variables en estadísticas se emplean letras latinas minúsculas, y en parámetros se emplean letras griegas o letras latinas mayúsculas, en la siguiente tabla se muestran las mas usuales, así como, sus diferencias.



 

Población

Muestra

 

 

 

Definición

Colección de elementos considerados

Parte o porción de la población seleccionada para su estudio

Características

“Parámetros”

“Estadísticas”

Símbolos

Tamaño de la población = N

Tamaño de la muestra = n

 

Media de la población =

Media de la muestra = 0

 

Desviación estándar de la población =

Desviación estándar de la muestra = s

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