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Prueba de un valor hipotético de la varianza usando la distribución Ji cuadrada



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5.18 Prueba de un valor hipotético de la varianza usando la distribución Ji cuadrada

 En el caso de una población con distribución normal la razón (n - l)s2 / 2 sigue una distribución de probabilidad X2, la cual es diferente de acuerdo con los (n - 1) grados de libertad. En consecuencia, la estadística que se utiliza para probar una hipótesis referente al valor de la varianza de la población es



La prueba puede ser una prueba unilateral o una prueba bilateral, aunque las hipótesis más frecuentes sobre una varianza poblacional se relacionan con pruebas unilaterales.



 Ejemplo.  El ciclo medio de vida útil de una muestra aleatoria de n = 10 focos es 0 = 4 000 horas, con una desviación estándar de s = 200 hr. Se supone que, en general, el ciclo de vida útil de los focos tiene una distribución normal. Supongamos que antes de que se recolectara la muestra se estableció la hipótesis de que la desviación estándar de la población no es mayor de = 150. Con base en los resultados muestrales, esta hipótesis se prueba al nivel de significancia de 1 % de la siguiente manera:

Dado que la estadística de prueba calculada de 16.0 no excede el valor crítico de 21.67 en esta prueba de cola superior, la hipótesis nula de que 150 no puede rechazarse al nivel de significancia de 1%.

 

 

5.19 Pruebas respecto de la variabilidad del proceso en el control estadístico de procesos



 El uso e interpretación de gráficas de control en el control estadístico de procesos es una aplicación directa de los métodos y conceptos de la prueba de hipótesis. La variabilidad del proceso se vigila y controla ya sea respecto de la desviación estándar del proceso o del rango del proceso. Como en el caso de las gráficas de control para la media del proceso y la proporción del proceso, los límites de control se definen en ± 3 unidades de error estándar respecto del valor central esperado de la gráfica cuando la hipótesis nula de que no existe variación por causas atribuibles es cierta.

 Ejemplo.  Muestras de subgrupo racional de n = 4 paquetes de papas fritas se toman en un proceso de empacamiento. En un ejemplo antes descrito consideramos si el proceso parece ser estable respecto de la media del proceso. Para la secuencia de 15 muestras, las desviaciones estándar muestrales (en onzas) son: .148, .045, .088, .057, .042, .071, .083, .116, .127, .066, .141, .056, .047, .068 y. 125. La figura 10 es la gráfica de corridas de esta secuencia de desviaciones estándar. Al revisar la gráfica de corridas, no queda claro si existe alguna desviación estándar muestral inusual, ya que el evidente alto grado de variabilidad en la gráfica podría ser consecuencia sólo de la escala usada en el eje vertical. En los problemas resueltos observaremos que, en efecto, todas las desviaciones estándar muestrales se hallan dentro de los límites de control inferior y superior. Así, la hipótesis nula de que no hay variación por causa atribuible no se rechazará, y concluiremos que el proceso es estable respecto de la desviación estándar del contenido de los paquetes. A todo esto, el solo hecho de que no haya variación por causa atribuible no significa por sí mismo que la variabilidad del proceso sea aceptable. En caso de existir un alto grado de variabilidad continua debida a causas comunes, el proceso deberá rediseñarse y ser mejorado.



Fig. 10 Gráfica de corridas.

 

5.20 Distribución F y prueba de la igualdad de dos varianzas poblacionales

 Puede demostrarse que la distribución F es el modelo de probabilidad apropiado para la razón de las varianzas de dos muestras tomadas independientemente de poblaciones con distribución normal, habiendo una distribución F diferente para cada combinación de los grados de libertad gl asociados con cada muestra. Para cada muestra, gl = n - 1. La estadística que sirve para probar la hipótesis nula de que dos varianzas poblacionales son iguales es



Dado que cada varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza de la misma población, el valor esperado a largo plazo de la razón anterior es de alrededor de 1.0. [Nota: El valor esperado no es de exactamente 1.0, sino de gl2/(gl2 - 2), por razones matemáticas que escapan al alcance de este libro.] Sin embargo, es improbable que las varianzas muestrales de cualquier par de muestras dado sean idénticas en valor, aun si la hipótesis nula es cierta. Puesto que se sabe que esta razón sigue una distribución F, esta distribución de probabilidad puede utilizarse en conjunción con la prueba de la diferencia entre dos varianzas. Aunque un supuesto matemático necesario es que las dos poblaciones tienen una distribución normal, se ha demostrado que la distribución F es relativamente robusta, e insensible a desviaciones respecto de la normalidad cuando cada población es unimodal y los tamaños de muestra son aproximadamente iguales.



 Los grados de libertad gl asociados con el numerador de la razón F calculada son los encabezados de columnas de esa tabla, mientras que los grados de libertad para el denominador son los encabezados de líneas. En la tabla no se identifican valores críticos de F para la cola inferior de la distribución, debido en parte a que, habitualmente, la distribución F se emplea en pruebas que sólo requieren de probabilidades de la cola superior. Esto es particularmente cierto en el caso del uso de la distribución F en el análisis de varianza. Otro motivo de que sólo se ofrezcan valores F de la cola superior es que los valores de F de cola inferior requeridos pueden calcularse mediante la llamada propiedad del recíproco de la distribución F, de este modo:

Al aplicar la fórmula, un valor F en el punto de 5% inferior se determina introduciendo en el denominador un valor de cola superior en el punto de 5%. Nótese, sin embargo, que los dos valores g1 del denominador siguen un orden inverso en comparación con el valor F requerido.



 Ejemplo.  Se supone que el ciclo de vida de los focos tiene una distribución normal. Probarnos la hipótesis nula de que las muestras se obtuvieron de poblaciones con varianzas iguales, con un nivel de significancia de 10%, mediante el uso de la distribución F.

Para la prueba al nivel de significancia de 10%, el punto de 5% superior para F y el punto de 5% inferior para F son los valores críticos.



Dado que la razón F calculada no es ni menor de 0.304 ni mayor de 3.68, se halla en la región de aceptación de la hipótesis nula. Así, el supuesto de que las varianzas de las dos poblaciones son iguales no puede rechazarse al nivel de significancia de 10%.

 


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