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Prueba de una hipótesis referente al valor de la proporción de la población



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5.14 Prueba de una hipótesis referente al valor de la proporción de la población

 La distribución normal puede servir como aproximación de una distribución binomial cuando n  30 y tanto np  5 como n(q)  5, donde q = 1 - p. Ésta es la base para la determinación de intervalos de confianza para la proporción, en la que también se explica el error estándar de la proporción. Sin embargo, en el caso de intervalos de confianza se requiere por lo general de un tamaño de muestra de al menos n = 100, como se explicó en la sección correspondiente.

 

En la determinación de intervalos de confianza expuesta en la sección correspondiente, la proporción muestral P^ sirve de base para el error estándar. En la prueba de hipótesis, el valor del error estándar de la proporción se basa por lo general en el uso del valor hipotético 0:



El procedimiento asociado con la prueba de un valor hipotético de la proporción de la población es idéntico al descrito en la sección correspondiente, salvo que la hipótesis nula se refiere al valor de la proporción poblacional, no de la media poblacional. Así, la fórmula de la estadística z para probar una hipótesis referente al valor de la proporción de la población es





Ejemplo.  El director de la agencia de colocaciones de una universidad sostuvo que al menos 50% de los estudiantes a punto de graduarse habían cerrado un trato de empleo para el 1 de marzo. Supongamos que se reúne una muestra aleatoria de n = 30 estudiantes a punto de graduarse y que sólo 10 de ellos indican haber cerrado un trato de empleo para el 1 de marzo. ¿Puede rechazarse el argumento del director de la agencia de colocaciones al nivel de significancia de 5%? Utilizamos z como la estadística de prueba, en esta forma:

[El uso de la distribución normal está garantizado, porque n 30, n0  5 y n(1 - 0 )  5.1]



La z calculada de -1.88 es menor que el valor crítico de -1.645 para esta prueba de la cola inferior. Por lo tanto, el argumento del director se rechaza al nivel de significancia de 5%.

 5.15 Determinación del tamaño de muestra requerido para probar la proporción

 Antes de la efectiva recolección de una muestra, el tamaño de muestra requerido para probar una hipótesis referente a la proporción poblacional puede determinarse especificando 1) el valor hipotético de la proporción, 2) un valor alternativo específico de la proporción tal que la diferencia con el valor hipotético nulo se considere importante, 3) el nivel de significancia por aplicar en la prueba y 4) la probabilidad de error tipo II que se permitirá. La fórmula para determinar el tamaño de muestra mínimo requerido para probar un valor hipotético de la proporción es



z0 es el valor crítico de z usado en conjunción con el nivel de significancia especificado (nivel de ), mientras que z1, es el valor de z respecto de la probabilidad de error tipo II asignada (nivel de ). Tal como se afirmó en la sección correspondiente en relación con la determinación del tamaño de muestra para probar la media, z0 y z1, siempre tienen signos algebraicos opuestos. El resultado es que los dos productos en el numerador siempre se acumularán. Asimismo, la fórmula puede utilizarse en conjunción con pruebas ya sea de una cola o de dos colas, y todo tamaño de muestra fraccionario se redondea al valor inmediato superior. Finalmente, el tamaño de muestra debe ser suficientemente grande para garantizar el uso de la distribución normal de probabilidad en conjunción con 01.



 Ejemplo. Un miembro del Congreso desea probarla hipótesis de que al menos 60% de los votantes está a favor de la legislación laboral que acaba de ser presentada a la Cámara, con un nivel de significancia de 5%. La discrepancia con esta hipótesis se considerará importante si sólo 50% (o menos) favorece la legislación, mientras que el riesgo de un error tipo II de  = 0.05 es aceptable. El tamaño de muestra que debería recolectarse, como mínimo, para satisfacer estas especificaciones de toma de decisiones es



5.16 Pruebas respecto de la proporción del proceso en el control estadístico de procesos

 El uso e interpretación de gráficas de control en el control estadístico de procesos es una aplicación directa de los métodos y conceptos de la prueba de hipótesis. Al igual que en el caso de la media del proceso, los límites de control para una proporción del proceso se definen en ±3 unidades de error estándar para el valor hipotético (aceptable).

 Ejemplo.  Cuando un proceso de canje de cupones se halla bajo control, un máximo de 3% de los descuentos se ejecuta incorrectamente, para una proporción máxima aceptable de errores de 0.03. En relación con 20 muestras secuenciales de 100 canjes de cupones cada una, una auditoría revela que el número de errores detectados en las muestras de subgrupos racionales son: 2, 2, 3, 6, 1, 3, 6, 4, 7, 2, 5, 0, 3, 2, 4, 5, 3, 8, 1 y 4. La gráfica de corridas de la secuencia de proporciones muestrales de error para las 20 muestras aparece en la figura anterior. Una revisión general de esta figura podría inducir la pregunta de si efectivamente se mantiene la norma de permitir en el proceso una proporción máxima de errores de 0.03, particularmente en las muestras #9 y #18. En los problemas observaremos que estas dos proporciones muestrales no están más allá de los límites superiores de control, de modo que podrían haber ocurrido debido simplemente a una variación por causa común. En consecuencia, no rechazaremos la hipótesis nula de que la proporción del proceso de errores se mantiene en 0.03 y de que el proceso es estable.

 5.17 Prueba de la diferencia entre dos proporciones poblacionales



 Cuando deseamos probar la hipótesis de que las proporciones de dos poblaciones no son diferentes, las dos proporciones muestrales se combinan como base para determinar el error estándar de la diferencia entre proporciones. Adviértase que este procedimiento difiere del empleado para la estimación estadística, en el cual no se hizo el supuesto de que no hay diferencia. Además, el presente procedimiento es conceptualmente similar al expuesto, en el que las dos varianzas muestrales se combinan como base para calcular el error estándar de la diferencia entre medias. La estimación combinada de la proporción de la población, con base en las proporciones obtenidas de dos muestras independientes, es

El error estándar de la diferencia entre proporciones usado en conjunción con la prueba del supuesto de que no hay diferencia es



La fórmula de la estadística z para probar la hipótesis nula de que no existe diferencia entre dos proporciones poblacionales es



Una prueba de la diferencia entre proporciones puede realizarse ya sea como prueba unilateral o como prueba bilateral.



 Ejemplo.  Una muestra de 50 hogares de una comunidad revela que 10 de ellos vieron un programa especial de televisión sobre la economía nacional. En una segunda comunidad, 15 hogares de una muestra aleatoria de 50 vieron ese programa especial de televisión. Probamos la hipótesis de que la proporción global de espectadores de las dos comunidades no difiere, con un nivel de significancia de 1%, de la siguiente manera:

La z calculada de - 1. 15 se encuentra en la región de aceptación de la hipótesis nula. Por lo tanto, la hipótesis de que no existe diferencia en la proporción de espectadores de las dos zonas no puede rechazarse.

 


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