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Determinación del tamaño de muestra requerido para probar la media



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5.5 Determinación del tamaño de muestra requerido para probar la media

 Antes de la efectiva recolección de una muestra, el tamaño de muestra requerido puede determinarse especificando 1) el valor hipotético de la media, 2) un valor alternativo específico de la media tal que la diferencia con el valor hipotético nulo se considere importante, 3) el nivel de significancia por emplear en la prueba, 4) la probabilidad del error tipo II que habrá de permitirse y 5) el valor de la desviación estándar de la población .



 La fórmula para determinar el tamaño de muestra mínimo requerido en conjunción con la prueba de un valor hipotético de la media, con base en el uso de la distribución normal, es

z0 es el valor crítico de z usado en conjunción con el nivel de significancia especificado (nivel de ), mientras que z1 es el valor de z respecto de la probabilidad del error tipo II asignada (nivel de ). El valor de debe conocerse o estimarse. La ultima fórmula puede emplearse lo mismo para pruebas unilaterales que bilaterales. El único valor que difiere en estos dos tipos de pruebas es el valor de z0 utilizado.

 [Nota:  Cuando se busca determinar el tamaño de muestra mínimo, todo resultado fraccionario se redondea siempre al valor inmediato superior. Además, a menos que sea conocida y la población tenga una distribución normal, todo tamaño de muestra calculado por debajo de 30 debe aumentar a 30, basado en el uso de la distribución normal.]

 

5.6 Prueba de una hipótesis referente a la media usando la distribución t



 La distribución t es la base adecuada para la determinación de la estadística de prueba estandarizada cuando la distribución de muestreo de la media tiene una distribución normal pero es desconocida. Puede suponerse que la distribución de muestreo es normal ya sea porque la población es normal o porque la muestra es suficientemente grande para apelar al teorema central del límite. Se requiere de la distribución t cuando la muestra es pequeña (n < 30). Para muestras más grandes puede usarse la aproximación normal. En cuanto al método del valor crítico, el procedimiento es idéntico al descrito anteriormente para la distribución normal, excepto por el uso de t en lugar de z como la estadística de prueba. La estadística de prueba es



Ejemplo.  La hipótesis nula de que el ciclo medio de vida útil de los focos de cierta marca es de 4 200 horas se formula contra la alternativa de que es menor. El cielo medio de vida útil de una muestra aleatoria de n = 10 focos es 0 = 4 000 hr, con una desviación estándar muestral de s = 200 hr. Se supone que, en general, el ciclo de vida útil de los focos sigue una distribución normal. Probamos la hipótesis nula al nivel de significancia de 5% de la siguiente manera:

Dado que -3.16 se halla en la región de rechazo de la cola izquierda (a la izquierda de] valor crítico -1.833), la hipótesis nula es rechazada y la hipótesis alternativa, de que el ciclo medio de vida útil real es menor de 4 200 hr, aceptada.

 5.7 Método del valor P para pruebas de hipótesis referentes a la media de la población

 La probabilidad de que ocurra el resultado muestral observado, dado que la hipótesis nula es cierta, se determina por medio del método del valor P, probabilidad que se compara después con el nivel de significancia a asignado. En consonancia con el método del valor crítico que describimos en las secciones anteriores, la idea es que un valor P bajo indica que es poco probable que la muestra ocurra cuando la hipótesis nula es cierta; por lo tanto, la obtención de un valor P bajo conduce al rechazo de la hipótesis nula. Adviértase que el valor P no es la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta dado el resultado muestral. Es, en cambio, la probabilidad del resultado muestral dado que la hipótesis nula es cierta.



 

Ejemplo.  Remítase al ejemplo anterior, en el que H0 := $260.00, H1 : < $260.00, = 0.05 y 0 = $240.00. Puesto que en esta prueba unilateral la media muestral se halla en la dirección de la hipótesis alternativa, determinamos la probabilidad de que una media muestral tenga un valor tan pequeño como éste o aún menor:

En la figura 8 se describe gráficamente el área de la cola izquierda para la que se ha determinado la probabilidad. Dado que el valor P de 0.0026 es menor que el nivel de significancia asignado de  = 0.05, se rechaza la hipótesis nula.



Fig. 8


En pruebas bilaterales, se determina el valor P de la cola más pequeña de la distribución, tras de lo cual se le duplica. El valor resultante indica la probabilidad del monto de diferencia observado en cualquier dirección entre los valores de la media muestral y la media poblacional hipotética.

 El método del valor P debe su difusión al hecho de que el formato estándar de los resultados en computadora de pruebas de hipótesis incluye valores P. El lector de los resultados determina si se rechaza una hipótesis nula comparando el valor P reportado con el nivel de significancia deseado.

 Cuando se requiere de cálculos manuales de probabilidades basadas en el uso de la distribución t es imposible determinar un valor P exacto, a causa de las limitaciones de la tabla estándar. En cambio, el uso de software de cómputo no implica ninguna limitación de esta clase.

 

5.8 Método de intervalos de confianza para pruebas de hipótesis referentes a la media

 De acuerdo con este método se elabora un intervalo de confianza para la media de la población con base en los resultados muestrales, tras de lo cual observamos si el valor hipotético de la media poblacional está incluido en el intervalo de confianza. Si el valor hipotético está incluido en el intervalo, la hipótesis nula no puede ser rechazada. Si el valor hipotético no está incluido en el intervalo, la hipótesis nula se rechaza. Cuando a es el nivel de significancia por utilizar en la prueba, se elabora el intervalo de confianza 1 - .

 Ejemplo.  Remítase al ejemplo anterior, en el que H0 : = $260.00, H1, : $260.00,  = 0.05, 0 = $240.00 y 0 = 7.17. Podemos probar la hipótesis nula al nivel de significancia de 5% elaborando el intervalo de confianza de 95%:



Dado que el valor hipotético de $260.00 no está incluido en el intervalo de confianza de 95%, la hipótesis nula se rechaza al nivel de significancia de 5%.

 Para una prueba de una cola lo apropiado es un intervalo de confianza unilateral. Sin embargo, un método más simple consiste en determinar un intervalo bilateral, pero al nivel de confianza que incluiría el área deseada en la cola de interés. Específicamente, para una prueba unilateral con  = 0.05 lo apropiado es el intervalo de confianza bilateral de 90%, porque este intervalo incluye el área de 0.05 en la cola de interés.

 El método de intervalos de confianza es favorecido en libros de texto que enfatizan el llamado método de análisis de datos para la estadística aplicada a la administración y la economía. En el área de la estadística descriptiva, el método de análisis de datos concede especial atención al análisis exploratorio de datos. En el área de la inferencia estadística, la filosofía del método de análisis de datos es que a los administradores les interesan más la estimación y los intervalos de confianza referentes a parámetros desconocidos (como el incierto nivel de ventas de un nuevo producto) que los conceptos de las pruebas de hipótesis.

 


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