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Intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones



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4.5 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones

 Para estimar la diferencia entre las proporciones de dos poblaciones, el estimador puntual insesgado de (1 - 2 ) es (p1 – p2). El intervalo de confianza implica el uso del error estándar de la diferencia entre proporciones. El uso de la distribución normal se basa en las mismas condiciones que las expuestas en relación con la distribución de muestreo de la proporción, salvo que este caso involucra a dos muestras y los requerimientos se aplican a cada una de ellas. El intervalo de confianza para la estimación de la diferencia entre dos proporciones poblacionales es



El error estándar de la diferencia entre proporciones se determina por medio de la fórmula, en la que el valor de cada respectivo error estándar de la proporción se calcula tal como se describió:





Ejemplo. Como se indicó que una proporción de 0.40 varones de una muestra aleatoria de 100 de una comunidad extensa prefirió las navajas de afeitar del cliente de la empresa sobre todas las demás. En otra comunidad extensa, 60 varones de una muestra aleatoria de 200 prefieren las navajas del cliente de la empresa. El intervalo de confianza de 90% para la diferencia en la proporción de varones de las dos comunidades que prefieren las navajas del cliente de la empresa es



 

 

4.6 Distribución ji cuadrada e intervalos de confianza para la varianza y desviación estándar

 Dada una población de valores con distribución normal, puede demostrarse que las distribuciones X2 Ji cuadrada) son las distribuciones de probabilidad adecuadas para la razón (n - 1) s2 / . Hay una distribución Ji cuadrada diferente según el valor de n -1, lo cual representa los grados de libertad. Así,

Dado que la varianza muestral es el estimador insesgado de la varianza poblacional, el valor esperado a largo plazo de la razón anterior es igual a los grados de libertad, o n - 1. Sin embargo, en cualquier muestra dada por lo general la varianza muestral no es idéntica en valor a la varianza poblacional. Puesto que se sabe que la razón anterior sigue una distribución ji cuadrada, esta distribución de probabilidad puede servir para la realización de inferencias estadísticas sobre una varianza o desviación estándar desconocida. Las distribuciones ji cuadrada no son simétricas. En consecuencia, un intervalo de confianza de dos extremos para una varianza o desviación estándar implica el uso de dos valores diferentes de X2, no del método "de más o de menos" utilizado en los intervalos de confianza basados en las distribuciones normal y t. La fórmula para la elaboración de un intervalo de confianza para la varianza de la población es



El intervalo de confianza para la desviación estándar de la población es



En la anterior fórmula general, los subíndices "superior" e "inferior" identifican los puntos percentiles de la distribución X2 particular por usar en la elaboración del intervalo de confianza. Por ejemplo, para un intervalo de confianza de 90% el punto superior es X20.95 y el punto inferior X20.05 . Al excluir el 5% mayor y el 5% menor de la distribución ji cuadrada, lo que resta es el 90% "central".



 Ejemplo. El salario medio semanal de una muestra de 30 empleados por horade una gran empresa es 0 = $280.00, con una desviación estándar muestral de s = $14.00. Se supone que los montos salariales semanales de la empresa tienen una distribución aproximadamente normal. El intervalo de confianza de 95% para estimar la desviación estándar de los salarios semanales de la población es

 En relación con el ejemplo anterior, repárese en el hecho de que, dado que los encabezados son probabilidades de la cola derecha más que valores percentiles, los encabezados de columnas que aparecen en la tabla se refieren a los valores complementarios de los valores percentiles superior e inferior requeridos.

 Como alternativa a un intervalo de confianza de dos extremos, también puede determinarse un intervalo de confianza de un extremo para la varianza o desviación estándar.

 


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