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Nota: En cierto software de cómputo no se requiere el supuesto de que las dos varianzas de la población sean iguales. Se determina en cambio un valor corregido para los grados de libertad, lo que resulta en menos g1, y esto a su vez en un valor de t ligeramente mayor y en un intervalo de confianza ligeramente más amplio.

 EJEMPL02. En relación con una muestra aleatoria de n1,= 10 focos, el ciclo medio de vida de los focos es 01 = 4 600 horas, con s1, = 250 hr. El ciclo medio de vida y la desviación estándar de una muestra de n2 = 8 focos de otra marca son 02 = 4 000 hr Y S2 = 200 Hr. Se supone que el ciclo de vida de ambas marcas tiene una distribución normal. El intervalo de confianza de 90% para estimar la diferencia entre el ciclo medio de vida útil de las dos marcas de focos es



 

Así, podemos afirmar con una confianza de 90% que la primera marca de focos tiene una vida media superior a la de la segunda marca en un monto de entre 410 y 790 hr.

 Obsérvese que en el caso de dos muestras es posible que éstas sean pequeñas (n < 30) y que aun así sea factible utilizar la distribución normal para aproximar t, porque gl :29. Sin embargo, en este caso se debe partir del supuesto de que las dos poblaciones siguen una distribución aproximadamente normal, dado que es imposible apelar al teorema central del límite respecto de una muestra pequeña.

 4.3 Intervalos de confianza para la proporción de la población

 La distribución de probabilidad aplicable a las proporciones es la distribución binormial de probabilidad. No obstante, los cálculos matemáticos asociados con la determinación de un intervalo de confianza para una proporción poblacional desconocida con base en el proceso de Bemoulli son complejos. Por lo tanto, en todos los libros de texto orientados a aplicaciones se utiliza la distribución normal como aproximación de la solución exacta de intervalos de confianza para proporciones. Esta aproximación es adecuada cuando n  30 y tanto np como nq  5 (donde q = 1 - p). Sin embargo, cuando la proporción de la población p (o ) es desconocida, la mayoría de los expertos en estadística recomienda tomar una muestra de n  100. Nótese que, en el contexto de la estimación estadística,  es desconocida, pero es estimada por ^p.

 La varianza de la distribución de proporciones sirve de base para el error estándar. Dada una proporción muestral observada, ^p, el error estándar de la proporción estimado es



En el contexto de la estimación estadística, la p (o ) de la población se desconoce, porque es justamente el valor por estimar. Si la población es por finitud, procede el uso del factor de corrección por finitud. Como en el caso del error estándar de la media, por lo general se considera innecesario el uso de esta corrección si n < 0.05 N.

 El intervalo de confianza aproximado para una proporción poblacional es

Además del intervalo de confianza de dos extremos, también puede determinarse un intervalo de confianza de un extremo para la proporción poblacional.



 Ejemplo. Una empresa de investigación de mercado contacta a una muestra aleatoria de 100 varones en una comunidad extensa y determina que una proporción muestral de 0.40 prefiere las navajas de afeitar fabricadas por el cliente de esa empresa sobre todas las demás marcas. El intervalo de confianza de 95% para la proporción de todos los varones de la comunidad que prefieren las navajas de afeitar del cliente de la empresa se determina de la siguiente manera:

Por lo tanto, con una confianza de 95% estimamos la proporción de todos los varones de la comunidad que prefieren las navajas del cliente de la empresa con un valor entre 0.30 y 0.50.

 4.4 Determinación del tamaño de muestra requerido para la estimación de la proporción

 Antes de recolectada una muestra, el tamaño de muestra mínimo requerido puede determinarse especificando el nivel de confianza requerido y el error de muestreo aceptable y haciendo una estimación inicial (subjetiva) de , la proporción poblacional desconocida:



 z es el valor usado para el intervalo de confianza especificado,  es la estimación inicial de la proporción poblacional y E es el error de muestreo "de más o de menos" permitido en el intervalo (siempre la mitad del intervalo de confianza completo).

 Si no es posible determinar un estimado inicial de , se le deberá estimar en 0.50. Esta estimación es conservadora en tanto que representa el valor para el que se requeriría del tamaño de muestra mayor. Con base en este supuesto, la fórmula general para el tamaño de muestra se simplifica en esta forma:

[Nota: Cuando se busca determinar el tamaño de muestra, todo resultado fraccionario se redondea siempre al valor inmediato superior. Además, todo tamaño de muestra calculado por debajo de 100 se debe incrementar a 100, porque las fórmulas se basan en el uso de la distribución normal.]



 Ejemplo.  En referencia al estudio mencionado en el ejemplo anterior, supongamos que con anterioridad ala recolección de los datos se especificó que la estimación del intervalo de 95% debía tener un margen de error inferior a ± 0.05 y que no se hizo juicio preliminar alguno sobre el probable valor de . El tamaño de muestra mínimo por recolectar es

Aparte de estimar la proporción de la población, también puede estimarse el número total en una categoría de la población.

 


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