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2. Eficiencia. Otra propiedad deseable de un buen estimador es que sea eficiente. La eficiencia se refiere al tamaño del error estándar de la estadística. Si comparamos dos estadísticas de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cuál de ellas es un           estimador más eficiente, escogeríamos la estadística que tuviera el menor error estándar o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo. Suponga que escogemos una muestra de un tamaño determinado y debemos decidir si utilizamos o no la media de la muestra para estimar la media de la población. Si calculamos el error estándar de la media de la muestra y encontramos que es de 1.05 y luego calculamos  el error estándar de la mediana de la muestra y tenemos que éste es de 1.6, diríamos que la media de la muestra es un estimador más eficiente de la media de la muestra ya que su error estándar es menor. Tiene sentido pensar que un estimador con un error estándar menor (con menos variación) tendrá una mayor oportunidad de producir una estimación más cercana al parámetro de población que se está considerando.

 3. Coherencia. Una estadística es un estimador coherente de un parámetro de población si al aumentar el tamaño de la muestra, se tiene casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la población. Si un estimador es coherente, se vuelve más confiable si tenemos tamaños de muestra más grandes. Si usted se pregunta acerca de la posibilidad de aumentar el tamaño de la muestra para obtener más información sobre un parámetro de población, encuentre primero si su estadística es un estimador coherente o no. Si no, usted desperdiciará tiempo y dinero al tomar muestras más grandes.

 4. Suficiencia. Un estimador es suficiente si utiliza una cantidad de la información contenida en la muestra que ningún otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se está estimando.

 Presentamos estos criterios con anticipación para hacerlo consciente del cuidado que los estadísticos deben tener a la hora de escoger un estimador.

 3.3.2 Búsqueda del mejor estimador

 Una estadística de muestra dada no siempre es el mejor estimador de su parámetro de estimador            población correspondiente. Considere una población distribuida de manera simétrica, en la que los valores de la mediana y de la media coinciden. En este caso, la media de la          muestra sería un estimador imparcial de la mediana de la población debido a que asumiría valores que en promedio serían iguales a la mediana de la población. También, la media de la muestra sería un estimador consistente de la mediana de la población puesto que, conforme aumenta el tamaño de la muestra, el valor de la medía de la muestra tenderá a acercarse bastante a la mediana de la población. Y la media de la muestra sería un estimador más eficiente de la mediana de la población que la mediana de la muestra misma, ya que en muestras grandes, la media de la muestra tiene una desviación estándar menor que la de la mediana de la muestra. Al mismo tiempo, la mediana de la muestra de una población distribuida simétricamente sería un estimador imparcial y consistente de la media de la población, pero no el más eficiente estimador porque en muestras grandes su error estándar es mayor que el de la media de la muestra.

 3.4 Tipos de estimación

 3.4.1 Definición de estimación puntual

 Podemos hacer dos tipos de estimaciones concernientes a una población: una estimación puntual y una estimación de intervalo. Una estimación puntual es un solo número que se utiliza para estimar un parámetro de población desconocido. Si, mientras observamos al primer integrante de un equipo de fútbol americano salir al campo de juego, usted se dice: ¡Anda! Apuesto a que su línea defensiva pesará unos 125 kilogramos, usted ha hecho una estimación puntual. El jefe de departamento de alguna universidad estaría haciendo una estimación puntual si afirmara: "Nuestros datos actuales indican que en esta materia tendremos 350 estudiantes en el siguiente semestre".

 3.4.2 Desventajas de las estimaciones puntuales

 Una estimación puntual a menudo resulta insuficiente, debido a que sólo tiene dos opciones: es correcta o está equivocada. Si se nos dice solamente que la afirmación del jefe de departamento sobre la inscripción está equivocada, usted no sabe qué tanto está mal, y no puede tener la certeza de la confiabilidad de la estimación. Si usted se entera de que sólo está errada por 10 estudiantes, podría aceptar a 350 estudiantes como una buena estimación de la inscripción futura. Pero si está equivocada en 90 estudiantes, podría usted rechazar la estimación por poco confiable. En consecuencia, una estimación puntual es mucho más útil si viene acompañada por una estimación del error que podría estar implicado.

 3.4.3 Definición de estimación de intervalo   

 Una estimación de intervalo es un intervalo de valores que se utiliza para estimar de intervalo un parámetro de población. Esta estimación indica el error de dos maneras: por la extensión del intervalo y por la probabilidad de obtener el verdadero parámetro de la población que se encuentra dentro del intervalo. En este caso, el jefe de departamento diría algo como lo siguiente: Estimo que la inscripción real de este curso para el próximo semestre estará entre 330 y 380, y es muy probable que la inscripción exacta caiga dentro de este intervalo. Tiene una mejor idea de la confiabilidad de su estimación. Si el curso se imparte en grupos de 100 estudiantes cada uno y si, tentativamente, ha programado cinco cursos, entonces, basándose en su estimación, puede cancelar uno de tales grupos y dejarlo como optativo.

 3.5 Estimador sesgado e insesgado.

 Un estimador puntual es el valor numérico de una estadística muestral empleado para estimar el valor de un parámetro de la población o proceso. Una de las características más importantes de un estimador es que sea insesgado. Un estimador insesgado es una estadística muestral cuyo valor esperado es igual al parámetro por estimar. Un valor esperado es el promedio a largo plazo de la estadística muestral. La eliminación de todo sesgo sistemático está asegurada cuando la estadística muestral corresponde a una muestra aleatoria tomada de una población o a un subgrupo racional tomado de un proceso. Ambos métodos de muestreo garantizan que la muestra sea insesgada, aunque no eliminan la variabilidad del muestreo, o error de muestreo, como se explicará en la siguiente sección.

En la tabla 10 se presentan algunos de los estimadores puntuales de parámetros de la población de uso más frecuente. En todos los casos, el estimador apropiado de un parámetro de la población es sencillamente la estadística muestral correspondiente.



 

Tabla 10


4. Estimación por intervalos

 

4.1 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias con el uso de la distribución normal



 A menudo es necesario estimar la diferencia entre dos medias poblacionales, como la diferencia entre los niveles salariales de dos empresas. El estimador puntual insesgado de (1 - 2) CS (01 - 02) . El intervalo de confianza se elabora en forma similar al usado para la estimación de la media, excepto que el error estándar pertinente para la distribución de muestreo es el error estándar de la diferencia entre medias. El uso de la distribución normal se basa en las mismas condiciones que en el caso de la distribución de muestreo de la media, salvo que están implicadas dos muestras. La fórmula empleada para estimar la diferencia entre dos medias poblacionales con intervalos de confianza es

ó

 Cuando se conocen las desviaciones estándar de las dos poblaciones, el error estándar de la diferencia entre medias es



Cuando se desconocen las desviaciones estándar de las poblaciones, el error estándar estimado de la diferencia entre medias dado el uso apropiado de la distribución normal es



 Los valores de los errores estándar de las respectivas medias incluidos en estas fórmulas se calculan con las fórmulas dadas, incluida la posibilidad de usar factores de corrección por finitud cuando corresponda



 Ejemplo. El salario medio semanal de una muestra de n = 30 empleados de una gran empresa manufacturera es, = $280.00, con una desviación estándar muestral de s = $14.00. En otra gran empresa, una muestra aleatoria de n = 40 empleados por hora tiene un salario medio semanal de $270.00, con una desviación estándar muestral de s = $10.00. El intervalo de confianza de 99% para la estimación de la diferencia entre los niveles salariales medios semanales de las dos empresas es

donde


 Así, podemos afirmar que el salario promedio semanal de la primera empresa es mayor que el promedio de la segunda Empresa por un monto de entre $2.23 y $17.77, con una confianza de 99% en esta estimación por intervalo. Adviértase que los - tamaños de las muestras son suficientemente grandes para permitir el uso de Z para aproximar el valor t.

 Además del intervalo de confianza de dos extremos, también puede elaborarse un intervalo de confianza de un extremo -ara la diferencia entre medias.

 4.2 Distribución t e intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias

 El uso de la distribución t en conjunción con una muestra es necesario cuando

 1 ) Se desconocen las desviaciones estándar a de la población.

 2) Las muestras son pequeñas (n < 30). Si las muestras son grandes, los valores t pueden ser aproximados por la normal estándar z.

 3) Se supone que las poblaciones tienen una distribución aproximadamente normal (recuerde que el teorema central del límite no puede aplicarse en muestras pequeñas).

 Además de lo anterior, cuando se usa la distribución t para definir intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias, no para inferencias sobre sólo una media poblacional, por lo general se requiere del siguiente supuesto adicional:

 4) Las dos varianzas poblacionales (desconocidas) son iguales, a 21 = 22



 A causa del anterior supuesto de igualdad, el primer paso para determinar el error estándar de la diferencia entre medias cuando procede el uso de la distribución t es combinar las dos varianzas muestrales:

El error estándar de la diferencia entre muestras basado en el uso de la varianza combinada estimada 2 es



Con gl = n1, + n2 - 2, el intervalo de confianza es





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