Apuntes de mecánica clásica



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Apuntes de mecánica clásica,

Adaptado: por Juan Antonio Flores Lira



1. La física




La mecánica
Leyes de conservación
Observables (cantidades) primitivos
Límites de la mecánica clásica


2. Dinámica de una partícula




Cinemática y dinámica
Interacciones y fuerzas
Definiciones








Partícula libre
Velocidad
Aceleración
Momentum lineal
Estado clásico





Leyes de Newton







Ley de inercia (primera ley de Newton)
Definición de fuerza (segunda ley de Newton)











Tipos de fuerzas
Interacciones y fuerzas
Equilibrio y reposo





Impulso
Trabajo








Unidades de trabajo
Potencia





Energía







Energía cinética







Energía potencial

Función fuerza







Principio de la conservación de la energía







Fuerzas conservativas y no conservativas







Rozamiento







Critica del concepto de energía

 3. Dinámica de un sistema de partículas




Principio de conservación del momentum
Ley de la acción y reacción (Tercera ley de Newton)
Trabajo y energía cinética de un sistema de partículas
Conservación de la energía de un sistema de partículas


4. Mecánica estadística (Sistemas con un gran número de partículas)




Temperatura
Trabajo
Calor


5. Bibliografía

1. La física

La física es una ciencia fundamental que tiene una profunda influencia en todas las otras ciencias. Por consiguiente, no sólo los estudiantes de física e ingeniería, sino todo aquel que piense seguir una carrera científica (biología, química y matemática) debe tener una completa comprensión de sus ideas fundamentales. (Alonso y Finn, 1, vii)

Como muy bien dicen Alonso y Finn, todo aquel que piense seguir una carrera científica debería estudiar física. ¿Por qué no se estudia física en psicología? Este es otro ejemplo de la necesidad imperiosa de cambiar los planes de estudio de la psicología.

La palabra física viene del término griego que significa naturaleza, y por ello la física debía ser una ciencia dedicada al estudio de todos los fenómenos naturales. (Alonso y Finn, 1, 2)

La física es una ciencia muy compleja y desarrollada, pero a la vez muy simple, puesto que trata de las características más simples y fundamentales que son comunes a cualquier proceso, sistema, fenómeno, etc. Es la ciencia más general, puesto que sus principios son independientes de la naturaleza particular del objeto de estudio, y son válidos para cualquier fenómeno que se produzca en la naturaleza.

La simplicidad de la física reside en que sus principios fundamentales son únicamente dos. Efectivamente, todo lo que enseña la física acerca de la naturaleza puede resumirse en dos afirmaciones. Ahora bien, tales afirmaciones o principios distan mucho de ser obvios, y su comprensión requiere un importante esfuerzo y preparación conceptual. Por ejemplo, para su correcta comprensión es necesaria una preparación matemática que permita el manejo de diversos conceptos matemáticos, tales como fuerza, trabajo, energía, etc. Decimos esto porque a menudo se tiene la impresión de que la física afirma muchas y complejas cosas, y uno difícilmente llega a comprender la verdadera enseñanza de la física.

La física se estructura en diversas ramas o subdisciplinas. Desde un punto de vista estrictamente teórico, la física se divide en dos áreas teóricas: la mecánica y la termodinámica. Las demás subdisciplinas tienen ya un carácter aplicado, como por ejemplo, la dinámica de fluidos, el electromagnetismo, la electrónica, la acústica, la física molecular, atómica y nuclear, la óptica, la química física, la física del estado sólido, etc. Todas ellas se fundamentan en la mecánica (clásica y cuántica) y la termodinámica.

La mecánica teórica, tanto la clásica como la cuántica, trata exclusivamente de la comprensión del principio de la conservación de la energía. Este es el primer principio fundamental de la física, que permite explicar un gran número de propiedades de la naturaleza. En otras palabras, la mecánica nos enseña a comprender y a operar con el principio de la conservación de la energía.

La distinción entre mecánica clásica y mecánica cuántica reside en su ámbito de aplicación. Hasta que no se investigó la naturaleza íntima de la materia (su naturaleza atómica y subatómica), la formulación de la mecánica clásica era suficiente para la descripción de los fenómenos conocidos. Al empezar a investigar los fenómenos atómicos, se hizo patente que la mecánica clásica era insuficiente para este campo de investigación. La mecánica cuántica surge para solventar este problema, de modo que la mecánica clásica queda incluida en la mecánica cuántica. La mecánica cuántica coincide con la mecánica clásica cuando se aplica a sistemas superiores al nuclear, es decir, a sistemas de escala natural o humana.

La termodinámica tiene un nivel de integración teórica superior, puesto que trata de la comprensión del principio del incremento de la entropía y de su interrelación con el principio de la conservación de la energía (llamados respectivamente segundo principio y primer principio de la termodinámica). Por tanto, el análisis termodinámico integra la aplicación de los dos principios fundamentales de la física (incluye, por tanto, a la mecánica). Para los biólogos, la termodinámica es el nivel de análisis físico que les interesa, puesto que, como veremos, en los seres vivos, tan importantes son las consecuencias del principio de la conservación de la energía, como las del principio del incremento de la entropía. Es decir, no nos basta con una comprensión adecuada de la mecánica sino que debemos alcanzar también una comprensión adecuada de la termodinámica.

La mecánica

El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. Prácticamente todos los procesos imaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. Nuestra experiencia diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es influenciado por los cuerpos que lo rodean; esto es por sus interacciones con ellos. Hay varias reglas generales o principios que se aplican a todas las clases de movimiento, no importa cual sea la naturaleza de las interacciones. Este conjunto de principios, y la teoría que los sustenta, se denominan mecánica.

Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes, tales como los de momentum, fuerza y energía. La mecánica es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momentum, la fuerza y la energía. Es una de las áreas fundamentales de la física, y debe comprenderse completamente antes de iniciar una consideración de interacciones particulares...

La ciencia de la mecánica como la comprendemos hoy día es el resultado principalmente del genio de Sir Isaac Newton, que produjo la gran síntesis denominada principios de Newton. Sin embargo, muchas personas más han contribuido a su avance. Algunos de los nombres más ilustres son Arquímedes, Galileo, Kepler, Descartes, Huygens, Hamilton, Mach y Einstein. (Alonso y Finn, 1, 84)

Aunque la mecánica clásica realiza una descripción extremadamente simplificada de los procesos naturales, el interés de su estudio, reside en que proporciona la aproximación más simple a los conceptos de interacción, fuerza, trabajo y energía, necesarios para la comprensión del principio de la conservación de la energía. Estos conceptos son fundamentales para la comprensión de los procesos naturalez, por lo que su estudio es imprescindible.

Leyes de conservación

En el mundo físico existe un cierto número de leyes de conservación, algunas de las cuales son exactas y otras aproximadas. Una ley de conservación es normalmente la consecuencia de una simetría fundamental del universo. Existen leyes de conservación relativas a la energía, a la cantidad de movimiento, al momento cinético, a la carga, al número de bariones (protones, neutrones y partículas elementales más pesadas), extrañeza y otras diversas magnitudes. Discutiremos la conservación de la energía en este capítulo. En el siguiente trataremos de la conservación de la cantidad de movimiento linear y angular.

Si se conocen todas las fuerzas que intervienen en un problema y si somos lo suficientemente hábiles y tenemos calculadores de adecuada velocidad y capacidad para obtener las trayectorias de todas las partículas, entonces las leyes de la conservación no nos dan ninguna información adicional. Pero constituyen una herramienta muy poderosa que los físicos utilizan diariamente. ¿Por qué dichas leyes de conservación son herramientas de tanta utilidad?

1. Las leyes de conservación son independientes de los detalles de la trayectoria y, a menudo, de los detalles de una fuerza particular. Estas leyes, por consiguiente, son un procedimiento de obtener consecuencias muy generales y significativas de las ecuaciones del movimiento. Una ley de conservación puede asegurarnos a veces que algo es imposible. Por lo tanto, no perderemos tiempo en analizar un pretendido aparato de movimiento perpetuo, si es simplemente un sistema cerrado formado por componentes mecánicos y eléctricos, o un esquema de propulsión de satélites, el cual da a entender que trabaja moviendo pesos internos.

2. Las leyes de conservación se han utilizado incluso aunque no se conozca la fuerza; esto se aplica particularmente a la física de las partículas elementales.

3. Las leyes de conservación tienen una conexión íntima con la invarianza. En la exploración de fenómenos nuevos y aún sin comprender, las leyes de conservación son con frecuencia el hecho físico más importante que conocemos y pueden sugerirnos conceptos de invarianza apropiados.

4. Aun cuando se conozca exactamente la fuerza, una ley de conservación puede constituir una ayuda conveniente para obtener el movimiento de una partícula. Muchos físicos tienen una rutina normal para resolver problemas desconocidos: Primero se utilizan las leyes de la conservación más importantes una por una; únicamente después de ello, si no han contribuido a desvelar el problema, se empezará el trabajo real con ecuaciones diferenciales, métodos variacionales y de perturbaciones, calculadoras, intuición y las demás herramientas a nuestra disposición. (Berkeley, 1, 133-4)

Observables (cantidades) primitivos

El físico reconoce cuatro cantidades fundamentales independientes: longitud, masa, tiempo y carga. Con esto no queremos decir que no hay otras cantidades 'fundamentales' en física; sin embargo, las otras cantidades son tales que pueden expresarse como una combinación de estas cuatro, o no requieren una unidad especial para su expresión.

Con unas pocas excepciones, todas las cantidades usadas hasta ahora en física pueden relacionarse a estas cuatro cantidades por sus definiciones, expresadas como relaciones matemáticas involucrando longitud, masa, tiempo y carga. Las unidades de todas estas cantidades derivadas son a su vez expresadas en función de las unidades de las cuatro cantidades fundamentales mediante estas relaciones de definición. (Alonso y Finn, 16-17).

Los conceptos fundamentales y primitivos que sustentan todas las mediciones físicas y todas las propiedades son: el tiempo (segundo, seg.), la distancia (metro, m), la masa (kilogramo, k), la temperatura absoluta (grado kelvin, K), la corriente eléctrica (ampere, A), la cantidad de sustancia (mol, mol) y la intensidad luminosa (bujía, cd)... Ellas forman la base del SI (System International) o International System of Units. {Unidades en el sistema internacional, SI}. (Abbott y Vanness, 2)

Límites de la mecánica clásica

La discusión completa se ceñirá de momento al régimen no relativista, lo cual equivale a restringirse a las transformaciones galileanas, a velocidades mucho menores que las de la luz y a una independencia entre la masa y la energía. (Berkeley, 1, 133)




 2. Dinámica de una partícula

Cinemática y dinámica

En el capítulo 5, relativo a la cinemática, se discuten los elementos que intervienen en la 'descripción' del movimiento de una partícula. Investiguemos ahora la razón por la cual las partículas se mueven de la manera en que lo hacen. ¿Por qué los cuerpos cerca de la superficie de la tierra caen con aceleración constante? ¿Por qué la tierra se mueve alrededor del sol en una órbita elíptica? ¿Por qué los átomos se unen para formar moléculas? ¿Por qué oscila un resorte cuando se le estira y luego se le suelta? Quisiéramos comprender estos y otros movimientos que observamos continuamente a nuestro alrededor. Esta comprensión es importante no solamente desde el punto de vista del conocimiento básico de la naturaleza, sino también desde el punto de vista de la ingeniería y las aplicaciones prácticas. La comprensión de cómo (¿por qué?) se producen los movimientos nos capacita para diseñar máquinas y otros instrumentos prácticos que se mueven en la forma que nosotros deseamos. El estudio de la relación entre el movimiento de un cuerpo y las causas de este movimiento se denomina dinámica. (Alonso y Finn, 1, 156)

Interacciones y fuerzas

Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es un resultado directo de sus interacciones con otros cuerpos que lo rodean. Las interacciones se describen convenientemente por un concepto matemático denominado fuerza. El estudio de la dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los cambios en el movimiento de un cuerpo.

Las leyes del movimiento que presentamos en la siguiente discusión son generalizaciones que resultan de un análisis cuidadoso de los movimientos que observamos alrededor nuestro y la extrapolación de nuestras observaciones a ciertos experimentos ideales o simplificados. (Alonso y Finn, 1, 156)

En muchos casos observamos el movimiento de solamente una partícula, ya sea porque no tenemos manera de observar las otras partículas con las cuales interactúa o porque las ignoramos a propósito. En esta situación es algo difícil usar el principio de conservación del momentum. Sin embargo, hay una manera práctica de resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. La teoría matemática correspondiente se denomina dinámica de una partícula. (Alonso y Finn, 1, 163)

Por tanto, nos limitaremos a la observación de una sola partícula, reduciendo sus interacciones con el resto del universo a un solo término que hemos ya llamado fuerza. (Alonso y Finn, 1, 202)

Definiciones

Partícula libre1

Una partícula libre es aquélla que no está sujeta a interacción alguna. Estrictamente no existe tal cosa, ya que toda partícula está sujeta a interacciones con el resto del mundo. Luego una partícula libre deberá estar completamente aislada, o ser la única partícula en el mundo. Pero entonces sería imposible observarla porque, en el proceso de la observación, hay siempre una interacción entre el observador y la partícula. En la práctica, sin embargo, hay algunas partículas que podemos considerar libres, ya sea porque se encuentra suficientemente lejos de otras y sus interacciones son despreciables, o porque las interacciones con las otras partículas se cancelan, dando una interacción total nula. (Alonso y Finn, 1, 156).

Velocidad

La velocidad promedio entre A y B está definida por





(5.1)

dondex es el desplazamiento de la partícula y t es el tiempo transcurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un cierto intervalo de tiempo es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para determinar la velocidad instantánea en un punto, tal como A, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo. Esto se escribe en la forma

Pero ésta es la definición de la derivada de x con respecto al tiempo; esto es





(5.2)

de modo que obtenemos la velocidad instantánea calculando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo.

Debemos observar que el desplazamiento x (o dx) puede ser positivo o negativo dependiendo de si el movimiento de la partícula es hacia la derecha o hacia la izquierda, dando por resultado un signo positivo o negativo para la velocidad.



Algunas veces se utiliza el concepto de rapidez, definida como distancia/tiempo. Siempre es positiva, y es numéricamente igual a la magnitud de la velocidad; es decir, rapidez = IvI. Sin embargo, en general, la rapidez promedio usando esta definición no tiene el mismo valor que la velocidad promedio de la expresión 5.1. También es importante no confundir el 'desplazamiento' xB- xA en el tiempo tB- tA con la 'distancia' cubierta en el mismo tiempo.


Así, la rapidez absoluta promedio es distancia/tiempo, y la velocidad vectorial promedio es desplazamiento/tiempo. (Alonso y Finn, 1, 87-88)

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Si la velocidad permanece constante, se dice que el movimiento es uniforme. La aceleración promedio entre A y B está definida por





(5.4)

Dondev es el cambio en la velocidad y, como antes, t es el tiempo transcurrido. Luego la aceleración promedio durante un cierto intervalo de tiempo es el cambio en la velocidad por unidad de tiempo durante el intervalo de tiempo.

La aceleración instantánea es el valor límite de la aceleración promedio cuando el intervalo t es muy pequeño. Esto es,





(5.5)

 En general, la aceleración varía durante el movimiento. Si el movimiento rectilíneo tiene una aceleración constante, se dice que el movimiento es uniformemente acelerado. (Alonso y Finn, 1, 89-90)

Momentum lineal

El momentum lineal de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad. Designándolo por p, tenemos




(7.1)

El momentum lineal es una cantidad vectorial2, y tiene la misma dirección que la velocidad. Es un concepto físico de mucha importancia porque combina los dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula: su masa y su velocidad. (Alonso y Finn, 1, 158)

Estado clásico

En la Mecánica clásica, el estado instantáneo de un sistema mecánico se describe mediante los valores de ciertas “variables observables” del sistema. En el caso del sencillo sistema constituido por una partícula de masa m que sólo puede moverse a lo largo del eje x, las variables observables utilizadas para definir el estado suelen ser la posición x y la cantidad de movimiento:

de la partícula. Dicho de otro modo, el estado del sistema en el instante t queda especificado por el par de valores [x(t), p(t)]3. (Gillespie, 31)]

 




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