Apuntes de mecánica clásica


Mecánica estadística (Sistemas con un gran número de partículas)



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4. Mecánica estadística (Sistemas con un gran número de partículas)

El resultado expresado por la ec. (9.35) o su equivalente, la ley de conservación de la energía, al ser aplicado a un sistema compuesto de un número pequeño de partículas, tal como nuestro sistema planetario o un átomo con pocos electrones, requiere el cómputo de varios términos que forman la energía interna, de acuerdo con la ec. (9.34). Sin embargo, cuando el número de partículas en muy grande, tal como en un átomo de muchos electrones o un gas compuesto de millones de moléculas, el problema resulta demasiado complicado matemáticamente. Debemos entonces usar ciertos métodos estadísticos para computar valores promedio de las cantidades dinámicas en vez de valores individuales precisos para cada componente del sistema. Además, en los sistemas complejos no estamos interesados en el comportamiento de cada componente individual (ya que dicho comportamiento no es observable en general) sino en el comportamiento del sistema como un todo. La técnica matemática para tratar esos sistemas constituye lo que se llama la mecánica estadística. Si nos olvidamos por un momento de la estructura interna del sistema y simplemente aplicamos la ec. (9.35), usando valores medidos experimentalmente para U y W, estamos empleando otra rama de la física, la termodinámica. (Alonso y Finn, 1, 269)

Temperatura

Definamos primero la temperatura T del sistema como una cantidad relacionada con la energía cinética promedio de las partículas en el sistema. Por tanto la temperatura es definida independientemente del movimiento del sistema relativo al observador. La energía cinética promedio de una partícula es




(9.45)

Donde N es el número total de partículas y vi es la velocidad de la partícula en el sistema.

No necesitamos indicar aquí la relación precisa entre la temperatura y la energía cinética promedio. Es suficiente por el momento suponer que, dada la energía cinética promedio en un sistema, podemos computar la temperatura del sistema, y recíprocamente. En este sentido hablamos de la temperatura de un sólido, de un gas, y aún de un núcleo complejo.

Un sistema que tiene la misma temperatura a través de todas sus partes, de modo que la energía cinética promedio de las partículas en cualquier región del sistema es la misma, se dice que está en equilibrio térmico. En un sistema aislado, cuya energía interna es constante, la temperatura puede cambiar si la energía cinética interna cambia, debido a un cambio en la energía potencial interna... Pero si la energía potencial interna de un sistema aislado permanece constante, que es el caso de un gas contenido en un caja rígida, entonces la energía cinética promedio del sistema permanecería constante; esto es, su temperatura no cambiará. Cuando el sistema no está aislado, puede intercambiar energía con el resto del universo, lo que puede resultar en un cambio de su energía cinética interna y, por tanto, de su temperatura.

La temperatura debiera ser expresada en joules por partícula. Sin embargo, es costumbre expresarla en grados. La escala de temperatura usada en física es la escala absoluta. La unidad se llama Kelvin, y se denota por K. En esta escala, la temperatura de fusión del hielo a presión atmosférica normal es 273,15 K y la temperatura de ebullición del agua a presión atmosférica normal es 373,15 K. (Alonso y Finn, 1, 269-270)

Trabajo

El intercambio de energía de un sistema con el mundo exterior es representado por el trabajo externo Wext en la ec. (9.35). Esto es,



U - U0 = Wext

Si el trabajo es hecho en el sistema (Wext positivo), su energía interna aumenta, pero si el trabajo es hecho por el sistema (Wext negativo), su energía interna disminuye. Este trabajo externo es la suma de los trabajos externos individuales hechos en cada una de las partículas del sistema, pero a veces puede ser fácilmente computado estadísticamente.



Consideremos, por ejemplo, un gas dentro de un cilindro, una de cuyas paredes es un pistón movible (Fig. 9-17). Es gas puede intercambiar energía y momentum con las vecindades a través de los choques e interacciones de sus moléculas con las moléculas de las paredes. El intercambio del momentum está representado por una fuerza ejercida por cada molécula en el punto de colisión con la pared. Estas fuerzas individuales fluctúan en cada punto, pero debido a que hay un gran número de colisiones sobre un área grande, el efecto total puede ser representado por una fuerza F actuante sobre la totalidad del área. Si A es el área y p la presión del gas, definida como la fuerza promedio por unidad del área, entonces

p = F/A   ó    F = pA

(9.46)

Si una de las paredes del recipiente es movible, tal como el pistón de la Fig. 9-17, la fuerza ejercida por el gas puede producir un desplazamiento dx de la pared. El intercambio de energía del sistema con el mundo exterior puede entonces ser expresado como el trabajo hecho por esta fuerza durante el desplazamiento. Ya que éste es trabajo hecho por el sistema y no trabajo hecho en el sistema, podemos considerarlo negativo. Por consiguiente

dWext = - F dx = - pA dx = - p dV

(9.47)

Donde dV = A dx es el cambio de volumen del gas. Entonces si el volumen cambia de V0 a V, el trabajo externo hecho en el sistema será



(9.48)

Para computar esta integral, debemos conocer la relación entre p y V. Esta relación ha sido estudiada para gases y otras sustancias en gran detalle. (Alonso y Finn, 1, 270-1)

Calor

Es importante recordar que la ec. (9.48) expresa un promedio macroscópico que suma todos los intercambios individuales de energía entre las moléculas del gas y las moléculas del pistón. Pero, ¿cómo se puede computar el intercambio de energía que ocurre debido a la interacción de las moléculas de gas con las paredes que permanecen fijas? En este caso, el método usado para evaluar W para el pistón no puede aplicarse, ya que, aunque definamos todavía la fuerza promedio sobre la pared, no podemos definir un desplazamiento promedio de la pared.

En cada interacción individual entre las moléculas del gas y la pared, se ejerce una pequeña fuerza y se produce un pequeño desplazamiento de las moléculas en la pared. Si pudiéramos computar cada una de esas cantidades infinitesimales de trabajo y sumarlas, tendríamos el trabajo exterior correspondiente hecho por el sistema. Sin embargo, esta técnica en obviamente casi imposible debido al gran número de factores que intervienen. Por consiguiente, definiremos un nuevo concepto macroscópico o estadístico llamado calor.

El valor promedio del trabajo externo o la energía intercambiada entre un sistema y el medio que lo rodea debido a intercambios individuales de energía que ocurren como resultados de choques entre moléculas del sistema y moléculas del medio que lo rodea se llama calor, Q, siempre que no pueda expresarse macroscópicamente como fuerza por distancia. Por consiguiente, Q está compuesta de una suma de un gran número de trabajos externos individuales muy pequeños, tales que no pueden ser expresados colectivamente como una fuerza promedio por una distancia promedio.

El calor Q se considera positivo cuando corresponde a un trabajo externo neto hecho sobre el sistema y negativo cuando es equivalente a un trabajo externo neto hecho por el sistema. En el primer caso decimos que el calor es absorbido por el sistema y en el segundo caso decimos que el calor es perdido por el sistema.

Ya que el calor corresponde a un trabajo, debe expresarse en joules. Sin embargo, el calor se expresa algunas veces en una unidad llamada caloría, cuya definición fue adoptada en 1948 como 1 caloría = 4,1840 J. La caloría fue introducida originalmente como unidad de calor cuando la naturaleza de éste era desconocida. Pero la caloría es simplemente otra unidad para medir trabajo y energía, y no solamente calor.

Este es el momento de prevenir al estudiante a fin de que no considere el calor como una nueva o diferente forma de energía. Es simplemente, el nombre dado a una transferencia de trabajo y energía de tipo especial, en la cual participan un gran número de partículas. Antes de que los conceptos de interacción y de la estructura atómica de la materia fueran claramente comprendidos, los físicos clasificaron la energía en dos grupos: energía mecánica correspondiente a las energías cinética y potencial gravitatoria, y energía no mecánica, dividida en calor, energía química, energía eléctrica, radiación, etc. Esta división ya no se justifica. Ahora los físicos reconocen solamente energía cinética y potencial, denotando la energía potencial con una diferente expresión según la naturaleza de la interacción física correspondiente, y denotando con calor y radiación dos mecanismos de transferencia de energía. La energía química es simplemente un término macroscópico para describir la energía asociada con las interacciones eléctricas en los átomos y las moléculas, energía que se manifiesta en procesos químicos; esto es, en redistribuciones atómicas dentro de las moléculas. (Alonso y Finn, 1, 272-273)



5. Bibliografía

Abbott, M.M., Vanness, H.C., (1991): Termodinámica. México: McGraw-Hill.

Alonso, M., Finn, E.J., (1976): Física. vol. 1. México: FEI.

Gillespie, D.T., (1976): Introducción a la Mecánica Cuántica. Barcelona: Reverté.

Kittel, Ch., Walter, D.K., Malvin, A.R., (1968): Mecánica. Berkeley PhysicsCourse, vol. 1. Barcelona: Reverté.


1Más adelante, en termodinámica, el concepto de partícula libre se tratará como equivalente a sistema aislado.

2A la magnitud del momentum se la denomina 'cantidad de movimiento'

3Suponiendo que conocemos la fuerza que actúa sobre la partícula en función de la posición.

4O cuando experimentamos el deseo de ver a alguien, de comprar un objeto, de realizar una tarea, de huir de una situación, etc. En general, desde la perspectiva de la experiencia humana, las fuerzas a las que estamos sometidos son experimentadas como emociones, deseos, sentimientos, etc.


5Un ser vivo puede considerarse como un sistema material que interactúa mecánica y electromagnéticamente con su entorno, bajo un campo de interacción gravitatorio. Dichas interacciones mecánicas y electromagnéticas son enormemente complejas, hasta el punto que no tiene ningún sentido tratar de determinarlas. Pero, en ningún caso, deberíamos olvidar la naturaleza estrictamente física de todo nuestro comportamiento.



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