Apuntes de mecánica clásica



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la cual implica que, en un sistema aislado, el cambio en el momentum de una partícula durante un intervalo particular de tiempo es igual y opuesto al cambio en el momentum del resto del sistema durante el mismo intervalo de tiempo.

Para el caso particular de dos partículas



p1+ p2 = constante

(7.6)

Llamandop' - p = pel cambio en el momentum entre los tiempos t y t', podemos escribir

p1 = -p2

(7.8)

Este resultado indica que, para dos partículas interactuantes, el cambio en el momentum de una partícula en un cierto intervalo de tiempo es igual y opuesto al cambio en el momentum de la otra durante el mismo intervalo de tiempo. Por lo tanto, el resultado anterior puede expresarse igualmente diciendo que

una interacción produce un intercambio de momentum,

de manera que el momentum "perdido" por una de las partículas interactuantes es igual al momentum "ganado" por la otra partícula. (Alonso y Finn, 1, 160-161)

La ley de inercia es justamente un caso particular del principio de conservación del momentum. Como tenemos solamente una partícula aislada en lugar de varias, la ec. (7.4), tiene solamente un término por lo que p = constante o lo que es lo mismo, v = constante (si la masa permanece constante), lo cual es una expresión de la ley de inercia. (Alonso y Finn, 1, 161)

Ley de la acción y reacción (Tercera ley de Newton)



La ec. (7.8) relaciona el cambio de momentum de las partículas 1 y 2 durante el intervalo de tiempo t = t' - t. Dividiendo ambos lados de esta ecuación entre t, podemos escribir



(7.10)

Si hacemos t muy pequeño, vale decir, si encontramos el límite de la ec. (7.10) cuando t 0, obtenemos



(7.11)

de modo que las variaciones (vectoriales) instantáneas del momentum de las partículas, en cualquier instante t, son iguales y opuestas (principio de conservación del momentum).

Utilizando el concepto de fuerza, podemos escribir la ec. (7.11) en la forma



F1 = -F2

(7.13)

Luego llegamos a la conclusión que

cuando dos partículas interactúan, la fuerza sobre una partícula es igual y opuesta a la fuerza sobre la otra.

Esta es la tercera ley del movimiento de Newton, nuevamente una consecuencia de la definición de fuerza y el principio de conservación del momentum. Se le denomina algunas veces como la ley de la acción y reacción. (Alonso y Finn, 1, 163-164)

Trabajo y energía cinética de un sistema de partículas

Consideremos un sistema compuesto de dos partículas de masas m1 y m2, sujetas a las fuerzas externas F1 y F2 y a las fuerzas internas F12 y F21. En un cierto instante las partículas ocupan las posiciones indicadas en la Fig. 9.10, moviéndose con velocidades v1 y v2 a lo largo de las trayectorias C1 y C2.



La ecuación del movimiento de cada partícula es

m1a1 = F1+F12




m2a2 = F2+F21

(9.26)

multiplicando ambas ecuaciones por dri, , sumando dichas ecuaciones y recordando que F12 = -F21..., integrando a partir de un tiempo inicial t0 hasta un tiempo arbitrario t y designando por A y B la posición de ambas partículas en los tiempos t0 y t, obtenemos

Ek - Ek,0 = Wext + Wint

(9.30)

 

(Alonso y Finn, 1, 255: Fig. 9-10)

donde

La primera expresión da el trabajo total Wext hecho por las fuerzas exteriores durante el mismo intervalo de tiempo, y la segunda expresión da el trabajo Wint hecho por las fuerzas interiores.

La ec. (9.30) se puede expresar diciendo que

el cambio de energía cinética de un sistema de partículas es igual al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas exteriores e interiores.

Esta es la extensión natural de nuestro resultado previo para una partícula dado en la ecuación (8.13), y es válido para un sistema compuesto de cualquier número de partículas. (Alonso y Finn, 1, 255-257)

Conservación de la energía de un sistema de partículas

Supongamos ahora que las fuerzas internas son conservativas, y que por tanto existe una función Ep,12 dependiente de las coordenadas de m1 y m2 tal que





(9.31)

Donde Ep,12 se refiere al instante t y Ep,12,0 al instante t0. Llamaremos a Ep,12 la energía potencial interna del sistema. Si las fuerzas interiores actúan a lo largo de la línea r12 que unen las dos partículas, entonces la energía potencial interna depende solamente de la distancia r12, En este caso la energía potencial interna es independiente del sistema de referencia ya que contiene sólo la distancia entre las dos partículas, situación que representa razonablemente bien la mayoría de las interacciones que se encuentran en la naturaleza. Sustituyendo la ec. (9.31) en la ec. (9.30), obtenemos

(Ek + Ep,12) - (Ek + Ep,12)0 = Wext

(9.32)

La cantidad



(9.33)

será llamada la energía propia del sistema. Esta es igual a la suma de las energías cinéticas de las partículas relativas a un observador inercial y su energía potencial interna, la cual, como lo mostramos antes, es (bajo nuestra suposición) independiente del sistema de referencia.

Si en vez de dos partículas tenemos varias, la energía propia es





(9.34)

Sustituyendo la definición (9.33) de la energía propia en la ec. (9.32), obtenemos

U - U0 = Wext

(9.35)

lo que establece que

el cambio de la energía propia de un sistema de partículas es igual al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas externas.

Este importante enunciado se llama la ley de conservación de la energía. Hasta ahora la ley ha aparecido como una consecuencia del principio de conservación del momentum y la suposición de que las fuerzas interiores son conservativas. Sin embargo, esta ley parece ser verdadera en todos los procesos que observamos en el universo, y por tanto se le concede validez general, más allá de las suposiciones especiales bajo las cuales la hemos derivado. La ec. (9.8) expresa la interacción del sistema con el mundo exterior por medio de su cambio de momentum. La ec. (9.35) expresa la misma interacción por medio del cambio de energía del sistema.

Consideremos ahora un sistema aislado en el cual Wext = 0, ya que no hay fuerzas exteriores. Entonces U - U0 = 0 o sea U = U0. Esto es,

la energía propia de un sistema aislado de partículas permanece constante,

bajo la suposición de que las fuerzas internas son conservativas. Si la energía cinética de un sistema aislado aumenta, su energía potencial interna debe disminuir en la misma cantidad de manera que la suma permanezca igual.

El principio de conservación del momentum, junto con las leyes de la conservación de la energía y del momentum angular, son reglas fundamentales que según parece gobiernan todos los procesos que pueden ocurrir en la naturaleza.

Puede suceder que las fuerzas externas actuantes sobre un sistema sean también conservativas de modo que Wext se puede escribir como Wext= Ep,ext,0 - Ep,ext, donde Ep,ext,0 y Ep,ext son los valores de la energía potencial asociada con las fuerzas externas en los estados inicial y final. Entonces la ec. (9.35) se transforma en



U = U0 = Ep,ext,0- Ep,ext

La cantidad



E = U + Ep,ext= Ek + Ep,int + Ep,ext

(9.36)

se llama la energía total del sistema. Permanece constante durante el movimiento del sistema bajo fuerzas conservativas internas y externas. Este resultado es similar a la ec. (8.29) para una sola partícula...

Dado que la energía cinética depende de la velocidad, el valor de la energía cinética depende del sistema de referencia usado para discutir el movimiento del sistema. Llamaremos energía cinética interna Ek,CM a la energía cinética referida al centro de masa. La energía potencial interna que depende únicamente de la distancia entre las partículas, tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia (como se explicó antes) y, por tanto, definiremos la energía interna del sistema como la suma de las energías cinética y potencial internas.



Uint = Ek,CM

(9.37)

En el futuro, al tratar de la energía de un sistema de partículas, nos referiremos en general solamente a la energía interna, aun cuando no escribamos el subíndice CM. (Alonso y Finn, 1, 257-259)

 




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