Apuntes de mecánica clásica


Principio de conservación de la energía



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Principio de conservación de la energía

Cuando la fuerza que actúa en una partícula es conservativa, se puede combinar la ec. (8.17) con la ecuación general (8.13), lo que nos da



Ek,B - Ek,A = Ep,A - Ep,B

o sea


(Ek + Ep)B = (Ek + Ep)A

(8.27)

La cantidad Ek + Ep es llamada la energía total de la partícula y designada por E; esto es, la energía total de una partícula es igual a la suma de su energía cinética y su energía potencial, o sea



(8.28)

La ec. (8.27) indica que

Cuando las fuerzas son conservativas la energía total E de la partícula permanece constante.

ya que los estados designados por A y B son arbitrarios. Así, es posible escribir para cualquier posición de la partícula,



E = Ek + Ep = const.

(8.29)

En otras palabras, la energía de la partícula se conserva. (Alonso y Finn, 1, 219).

En el caso general del movimiento rectilíneo la energía potencial depende solamente de una coordenada, digamos x, y la ec. (8.28) para la conservación de la energía es



 

(8.31)

DondeE, la energía total, es una constante. (Alonso y Finn, 1, 220-1)

Fuerzas conservativas y no conservativas

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realizan al mover una partícula desde AaB es independiente de la trayectoria que recorre la partícula al ir de AaB. Así pues, como:



resulta que si la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada el trabajo realizado por una fuerza conservativa es cero. (Berkeley, 1, 145)

Supongamos que la fuerza depende de la velocidad con que se recorre la trayectoria. (La fuerza que actúa sobre una partícula cargada en un campo magnético depende de su velocidad). ¿Puede ser conservativa una fuerza de este tipo? Resulta que las fuerzas fundamentales importantes que dependen de la velocidad son conservativas porque su dirección es perpendicular a la del movimiento de la partícula, de modo que:

es cero.

Las fuerzas de rozamiento no son realmente fuerzas fundamentales, sino que son dependientes de la velocidad y no son conservativas. Se sabe experimentalmente que es independiente de la trayectoria para las fuerzas gravitatorias y para las electrostáticas. (Berkeley, 1, 146)

Fuerzas no conservativas

Es fácil encontrar fuerzas en la naturaleza que no son conservativas. Un ejemplo de ellas es la fricción. La fricción siempre se opone al desplazamiento. Su trabajo depende de la trayectoria seguida y, aunque la trayectoria pueda se cerrada, el trabajo no es nulo... Similarmente, la fricción en los fluidos se opone a la velocidad, y su valor depende de ésta mas no de la posición. Una partícula puede estar sujeta a fuerzas conservativas y no conservativas al mismo tiempo.

Por ejemplo, una partícula que cae en un fluido está sujeta a la fuerza gravitacional conservativa y a la fuerza de fricción no conservativa. Llamando Ep a la energía potencial correspondiente a las fuerzas conservativas y W' al trabajo hecho por las fuerzas no conservativas (trabajo que, en general, es negativo porque las fuerzas de fricción se oponen al movimiento), el trabajo total hecho en la partícula al moverse de AaB es W = Ep,A - Ep,B +W'. Usando la ec. (8.13), podemos escribir

o




(8.44)

En este caso la cantidad Ek+Ep no permanece constante sino decrece (aumenta) si W' es negativo (positivo). Pero por otra parte, no podemos llamar a Ek+Ep la energía total de la partícula, porque este concepto no es aplicable en este caso, ya que no incluye todas las fuerzas presentes. El concepto de energía total de una partícula tiene significado sólo si todas las fuerzas son conservativas. Sin embargo la ec. (8.44) es útil cuando queremos efectuar una comparación entre el caso en que actúan solamente las fuerzas conservativas (de manera que Ek+Ep sea la energía total) y el caso en que hay fuerzas no conservativas adicionales. Entonces decimos que la ec. (8.44) da la ganancia o la pérdida de energía debida a las fuerzas no conservativas.

El trabajo no conservativo W' representa así una transferencia de energía que, al corresponder a un movimiento molecular, es en general irreversible. La razón para no poder ser recobrado es la dificultad, aun dentro de un punto de vista estadístico, de volver todos los movimientos moleculares al estado inicial. En algunos casos, sin embargo, los movimientos moleculares pueden estadísticamente ser devueltos a las condiciones originales. Esto es, aun si el estado final no es microscópicamente idéntico al inicial, son estadísticamente equivalentes. Este es el caso, por ejemplo, de un gas que se expande muy lentamente mientras hace trabajo. Si después de la expansión el gas es comprimido lentamente a su condición física original, el estado final es estadísticamente equivalente al inicial. El trabajo efectuado durante la compresión es el negativo del trabajo de expansión y el trabajo total es por tanto cero.

La existencia de fuerzas no conservativas tal como la fricción no debe ser considerada como implicando necesariamente que puedan existir interacciones no conservativas entre partículas fundamentales. Debemos recordar que las fuerzas de fricción no corresponden a una interacción entro dos partículas sino que son conceptos realmente estadísticos. La fricción, por ejemplo, es el resultado de muchas interacciones individuales entre las moléculas de los dos cuerpos en contacto. Cada una de estas interacciones puede ser expresada por una fuerza conservativa. Sin embargo, el efecto macroscópico no es conservativo {mecánicamente} por el siguiente motivo: aunque el cuerpo, al completar una órbita cerrada, está macroscópicamente en su posición original, las moléculas individuales no han retornado a su condición original. Por consiguiente, el estado final no es microscópicamente idéntico al inicial, ni tampoco equivalente en un sentido estadístico. (Alonso y Finn, 1, 228-230)

Rozamiento

Las fuerzas de rozamiento parecen no ser conservativas en un sentido limitado. Dos cuerpos pueden chocar inelásticamente de modo que parte de la energía cinética se disipa internamente en los cuerpos en forma de calor. Naturalmente, si las fuerzas fundamentales son conservativas, entonces todo el movimiento debe ser conservativo si se analiza con suficiente detalle. El rozamiento es, pues, asunto de contabilidad. Si parte de la energía se transforma en algo que no nos es útil, lo podemos llamar rozamiento. (Berkeley, 1, 147)

Crítica del concepto de energía

[En este capítulo hemos visto cómo podemos usar el concepto de energía de manera muy efectiva para resolver ciertos problemas dinámicos de una partícula cuando conocemos la fuerza en función de la posición. Esta es una de las razones básicas para introducir el concepto de energía en física.

Nuestra experiencia inmediata nos lleva a reconocer que los cuerpos a nuestro alrededor están en movimiento. Atribuimos dichos movimientos a las interacciones entre los cuerpos, y los describimos por medio de los conceptos de fuerza y energía. Tales conceptos tienen un solo propósito: proporcionar métodos útiles para analizar y predecir los movimientos que observamos. La gran utilidad del concepto de energía potencial, como la del concepto de fuerza, es que nos permite asociar formas específicas de energía potencial con interacciones específicas observadas en la naturaleza. Tal resultado no es sorprendente, ya que la fuerza F está relacionada con la energía potencial Ep por medio de:



Es dicha relación entre energía potencial e interacción lo que da verdaderamente significado físico a la idea de energía potencial. En discusiones futuras tocaremos el hecho de que la interacción entre dos cuerpos puede ser descrita como un intercambio de energía o como un intercambio de momentum. Cualquiera de tales descripciones proporciona una representación conveniente y útil de una interacción. (Alonso y Finn, 1, 232-3)



3 Dinámica de un sistema de partículas

En los dos últimos capítulos hemos discutido la teoría de la dinámica de una partícula. En dicha teoría, ignoramos el resto del universo y lo representamos ya sea por una fuerza o por una energía potencial, que dependen solamente de las coordenadas de la partícula. Consideremos ahora el problema más realista e importante de varias partículas. A lo largo de este capítulo supondremos que las masas de las partículas son constantes. (Alonso y Finn, 1, 241)

Principio de conservación del momentum: el principio de la conservación del momentum en su forma general dice

elmomentum total de un sistema aislado de partículas es constante.

No se conocen excepciones a este principio general de conservación del momentum. Por el contrario, cuando parece que hay una violación de este principio en un experimento, el físico inmediatamente busca alguna partícula desconocida o que no ha notado y la cual puede ser la causa de la aparente falta de conservación del momentum. Es esta búsqueda la que ha dado lugar a que los físicos identifiquen el neutrón, el neutrino, el fotón, y muchas otras partículas elementales.

La conservación del momentum puede expresarse matemáticamente escribiendo la siguiente ecuación:




(7.4)




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