Apuntes de mecánica clásica



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Problema 1.11  Con la aplicación de la segunda ley de Newton a la traslación de un cuerpo rígido, ilustre el origen de los términos energía potencial y cinética en la ecuación de energía para un sistema puramente mecánico.

La segunda ley de Newton para este sistema es:





(1)

Dondeves la velocidad del cuerpo y F es la fuerza total externa que actúa sobre el cuerpo paralela a su desplazamiento dl. El trabajo total efectuado por el cuerpo contra la fuerza es entonces:



(2)

Con la sustitución de (1) en (2), se obtiene:






(3)
 

o

 



La ecuación (3) es una expresión perfectamente general para el trabajo mecánico total efectuado por el cuerpo rígido en traslación, y la ecuación no se basa en suposiciones con respecto a la naturaleza de la fuerza F. Sin embargo, F se considera convenientemente como la suma de dos tipos de fuerzas, fuerzas de cuerpo FB y fuerzas superficiales FS.

F = FB + FS

(4)

Las fuerzas de cuerpo se llaman así porque actúan en todo el volumen de un sistema; las fuerzas superficiales actúan sobre un área de la superficie limitante de un sistema. Por (2) y (4), entonces, el trabajo total puede considerarse:

W = WB + WS

(5)




(6)



(7)
Donde

 

 



Las fuerzas de cuerpo son fuerzas conservativas. Esto significa que se pueden derivar de una función potencialV(l), la cual depende sólo de la ubicación del sistema, por medio de diferenciación con respecto a la coordenada de posición. Así, para el siguiente caso:



(8)

Al sustituir (8) en (6), se obtiene:



(9)

Puesto que la diferencia V depende únicamente de las posiciones inicial y final del sistema y no de la trayectoria seguida entre estas posiciones, el trabajo efectuado contra las fuerzas de cuerpo es independiente de la trayectoria. Si se define la energía potencial Ep como EpºV, se puede escribir (9) como

WB = Ep

(10)

Las fuerzas superficiales (por ejemplo, la fricción) son, en general, no conservativas y usualmente se escriben expresiones como (7) para el trabajo efectuado contra tales fuerzas. La combinación de (5) y (10) da

W = Ep + WS

(11)

La ecuación (11) es una alternativa de (3) y las dos ecuaciones pueden aplicarse al mismo proceso. Haciendo esto y reacomodando, se obtiene la ecuación de energía

-WS = Ek + Ep

(12)

Cuando no hay fuerzas superficiales (12) se reduce a

Ek + Ep= 0           o            Ek + Ep=constante

la cual es el muy conocido 'principio de conservación de energía' de la mecánica clásica.

El término trabajo en la primera ley de la termodinámica, por lo general, representa el trabajo efectuado por las fuerzas superficiales y el sistema termodinámico común, no es, por supuesto, un cuerpo rígido. (Abbott y Vanness, 20-21)]

La función fuerza

La función fuerzaF(x)da la fuerza que sobre la partícula ejerce su ambiente en cada punto x; así pues, podemos decir que la función fuerza describe la interacción mecánica de la partícula con el medio que la rodea. Esta interacción también puede describirse mediante la función potencial V(x) la cual, por definición, es aquella función cuya derivada respecto a x, cambiada de signo, nos da la función fuerza:





(3.2)

Aun cuando es posible considerar fuerzas que no puedan derivar de ninguna función V(x), según la definición (3.2) (por ejemplo, una fuerza de rozamiento, la cual no sólo depende de x, sino también de la dirección y sentido del movimiento), lo que hemos estipulado al principio de que el campo de fuerzas sea conservativo significa, precisamente, que existe una V(x) definida por (3.2). En consecuencia, en los sistemas que nos interesan da lo mismo describir la interacción entre la partícula y el medio que la rodea especificando F(x) que especificando V(x), ya que si conocemos una de estas funciones podemos hallar la otra mediante la relación (3.2).

Fig. (Gillespie, 35)

Así pues, la fuerza F(x) siempre tiende a mover la partícula en un sentido que dé origen a una disminución de V(x); es más, la relación (3.2) nos dice que la intensidad o magnitud de esta fuerza en un punto dado es igual a la disminución deV(x)por unidad de longitud en dicho punto. Podemos, pues, considerar la gráfica de V(x) como una especie de “terreno montañoso” por el cual ruede la partícula bajo la influencia de una fuerza pseudogravitatoria. (Gillespie, 29-30)

Los gráficos que representan Ep(x) contra x en problemas rectilíneos de una sola dimensión son muy útiles para ayudar a comprender el movimiento de una partícula, aún sin resolver la ecuación del movimiento. En la fig. 8-18 {véase la figura anterior de Gillespie} hemos ilustrado una posible curva de energía potencial para un movimiento unidimensional. La fuerza sobre la partícula para cualquier valor de x está dada por



Pero dEp/dx es la pendiente de la curva Ep(x). En los puntos donde la energía potencial es mínima o máxima,F = 0; esto es, tales posiciones son de equilibrio. Aquellas posiciones donde Ep(x) es mínima el equilibrio es estable. Donde Ep(x) es máxima, el equilibrio es inestable. (Alonso y Finn, 1, 224-5)

El programa básico de la Mecánica, tanto clásica como cuántica, tiene dos aspectos: Primeramente, hemos de decidir cómo especificamos el estado instantáneo de un sistema mecánico dado y luego debemos descubrir cómo evoluciona con el tiempo dicho estado. (Gillespie, 30)




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