Apuntes de mecánica clásica



Descargar 186.23 Kb.
Página3/7
Fecha de conversión03.12.2017
Tamaño186.23 Kb.
Vistas487
Descargas0
1   2   3   4   5   6   7

Energía cinética

De la ec. (7.27) se deduce que la fuerza tangencial es FT = mdv/dt. Por tanto



ya que v = ds/dt, según la ec. (5.23). Por consiguiente la integral que aparece en la ec. (8.5) representando el trabajo total es





(8.11)

DondevBes la velocidad de la partícula en B y vA la velocidad de la partícula en A. El resultado (8.11) indica que cualquiera que sea la forma funcional de la fuerza F y la trayectoria seguida por la partícula, el valor del trabajo W efectuado por la fuerza es siempre igual a la diferencia entre las magnitudes de:

evaluadas al final y al comienzo de la trayectoria. Esta importante magnitud, llamada energía cinética, se designa por Ek. Por consiguiente





(8.12)

Puesp = mv. La ec. (8.11) puede expresarse entonces en la forma



(8.13)

que en palabras puede traducirse así:

el trabajo efectuado sobre una partícula es igual al cambio producido en su energía cinética,

y que es un resultado de validez general, cualquiera que sea la naturaleza de la fuerza.

El resultado (8.13), que relaciona el cambio de la energía cinética Ek de una partícula con el trabajo W efectuado por la fuerza, se parece mucho a la ec. (8.1), que relaciona el cambio de momentump de una partícula con el impulso I de la fuerza. La diferencia consiste en que el impulso, siendo una integral de tiempo, es útil solamente si conocemos la fuerza de función del tiempo. Pero el trabajo, siendo una integral de espacio, puede computarse fácilmente si conocemos la fuerza en función de la distancia. Generalmente se conoce la fuerza en función de la posición, y es por esta razón que los conceptos de trabajo y energía juegan un papel tan importante en física. (Alonso y Finn, 1, 209-210)

La ecuación (8.13) es una expresión perfectamente general para el trabajo mecánico total efectuado por el cuerpo rígido en traslación, y la ecuación no se basa en suposiciones con respecto a la naturaleza de la fuerza F. (Äbbott y Vanness, 20)

Energía potencial

Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector posición r o de las coordenadas x, y, z de la partícula es tal que el trabajo W puede ser expresado como la diferencia entre los valores de una cantidad Ep(x,y,z) evaluada en los puntos inicial y final. La cantidad Ep(x,y,z) se llama energía potencial, y es una función de las coordenadas de las partículas. Luego, si F es una fuerza conservativa,





(8.17)

Obsérvese que escribimos Ep,A- Ep,B y noEp,B- Ep,A; esto es, el trabajo efectuado es igual a Ep en el punto inicial menos Ep en el punto final. En otras palabras,

la energía potencial es una función de las coordenadas tal que la diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual al trabajo efectuado sobre la partícula para moverla de su posición inicial a la final.

Estrictamente hablando, la energía potencial Ep debe depender tanto de las coordenadas de la partícula considerada, como de las coordenadas de todas las otras partículas del universo que interactúan con ella. Sin embargo, como mencionamos en el capítulo 7 cuando tratábamos de la dinámica de una partícula, suponemos el resto del universo esencialmente fijo, y así solamente las coordenadas de la partícula considerada aparecen en Ep.

El estudiante debe notar, comparando la ec. (8.17) con la expresión de la energía cinética (8.12), que la ec. (8.12) es válida en general no importando de qué fuerza F se trate. Siempre se cumple que Ek = 1/2mv2, mientras que la forma de la función Ep(x,y,z) depende de la naturaleza de la fuerza F, y no todas las fuerzas pueden satisfacer la condición establecida por la ec. (8.17). Sólo aquellas que la satisfagan se llaman conservativas.

En la definición de la energía potencial siempre interviene una constante arbitraria, Gracias a esta arbitrariedad, podemos definir el nivel de referencia más conveniente, y por ello la energía potencial debida a la gravedad es tomada como nula en la superficie terrestre. Para un satélite natural o artificial, se define la energía potencial de modo que sea cero a distancia infinita.



el trabajo efectuado por las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria.

Para satisfacer la ec. (8.17) es necesario que





(8.21)

porque entonces

de acuerdo con la ec. (8.17): podemos escribir en lugar de la ec. (8.21)





(8.22)

FT es la componente de la fuerza a lo largo de la dirección del desplazamiento ds; por tanto, si conocemos Ep(x, y, z), podemos obtener la componente de F en cualquier dirección computando la cantidad -dEp/ds, que es la derivada de Ep en aquella dirección, con signo negativo.  Esto es lo que se llama la derivada direccional de Ep. Cuando un vector es tal que su componente en una dirección es igual a la derivada direccional de una función es aquella dirección, el vector se llama el gradiente de la función. (Alonso y Finn, 1, 213-6)

Suponemos aquí que las fuerzas son conservativas; entonces Ep(r) será una función escalar de posición, unívoca y Ep(B) - Ep(A) será igual al aumento de la energía cinética de la partícula al regresar de B a Aal cesar de actuar la fuerza aplicada. (Berkeley, 1, 147)



En una dimensión



(45)

de donde se obtiene por derivación



(46)

La ecuación (46) es un ejemplo del resultado general de que la fuerza aplicada representa la variación de la energía potencial por unidad de longitud. (Berkeley, 1, 150-151)

El signo de la fuerza es una cuestión de convenio. Así, cuando la fuerza aumenta la energía potencial se considera positiva y cuando disminuye la energía potencial se considera negativa: la fuerza de la gravedad es negativa y la fuerza de oposición a la gravedad (del suelo o de un organismo) es positiva.





Compartir con tus amigos:
1   2   3   4   5   6   7


La base de datos está protegida por derechos de autor ©psicolog.org 2019
enviar mensaje

enter | registro
    Página principal


subir archivos