Apuntes de mecánica clásica



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Leyes de Newton

Newton publicó 'Principia Mathematica' en 1686 donde exponía los principios de la dinámica en base a tres 'leyes' llamadas las leyes de Newton.}

Ley de inercia (primera ley de Newton)

Consideremos ahora la ley de inercia, la cual establece que:



una partícula libre se mueve siempre con velocidad constante, o (lo que es lo mismo) sin aceleración.

Esto es, una partícula libre se mueve en línea recta con una velocidad constante o se encuentra en reposo (velocidad cero). Esta proposición se denomina la primera ley de Newton, porque fue inicialmente propuesta por Sir Isaac Newton (1642-1727). Es la primera de las tres 'leyes' que él enunciara en el siglo diecisiete. (Alonso y Finn, 1, 156-157)

Una consecuencia inmediata de la ley de inercia es que un observador inercial reconoce que una partícula no es libre (es decir, que interactúa con otras partículas) cuando observa que la velocidad o el momentum de la partícula deja de permanecer constante; o en otras palabras, cuando la partícula experimenta una aceleración. (Alonso y Finn, 1, 159)

Definición de fuerza (Segunda ley de Newton)



Designaremos el cambio con respecto al tiempo del momentum de una partícula con el nombre de "fuerza". Esto es, la fuerza que "actúa" sobre una partícula es



(7.12)

La palabra "actúa" no es apropiada ya que sugiere la idea de algo aplicado a la partícula. La fuerza es un concepto matemático el cual, por definición, es igual a la derivada con respecto al tiempo del momentum de una partícula dada, cuyo valor a su vez depende de su interacción con otras partículas. Por consiguiente, físicamente, podemos considerar la fuerza como la expresión de una interacción. Si la partícula es libre, p = constante y F = 0. Por lo tanto, podemos decir que no actúan fuerzas sobre una partícula libre.

La expresión (7.12) es la segunda ley de movimiento de Newton; pero, como podemos ver, es más una definición que una ley, y es una consecuencia directa del principio de conservación del momentum...

Si m es constante, tenemos




(7.15)

Podemos expresar la ec. (7.15) en palabras diciendo:

La fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración, si la masa es constante.

Nótese que en este caso la fuerza tiene la misma dirección que la aceleración. (Alonso y Finn, 1, 164-165)]

Nosotros introdujimos el concepto de fuerza como una noción matemática conveniente para describir la variación del cambio de momentum de una partícula debido a sus interacciones con otras partículas. Sin embargo, en la vida diaria tenemos una imagen algo diferente del concepto de fuerza. Nosotros “sentimos” una fuerza (realmente una interacción) cuando un bateador golpea una pelota, un martillo golpea un clavo, un boxeador golpea la cara de su oponente, o un peso hala una cuerda4. Y obviamente es difícil reconciliar esta imagen sensorial de fuerza con la fuerza o interacción entre el sol y la tierra. En ambos casos, sin embargo, tenemos una interacción entre dos cuerpos. No importa cuán compacto pueda parecer un sólido, sus átomos están separados y mantienen sus posiciones en la misma manera en que los planetas mantienen su posición como resultado de sus interacciones con el sol. El “bate” nunca está en contacto con la pelota en el sentido microscópico, aunque sus moléculas se acercan mucho a aquellas de la pelota, produciendo una alteración temporal en sus posiciones como resultado de sus interacciones. Así todas las fuerzas en la naturaleza corresponden a interacciones entre cuerpos situados a cierta distancia entre ellos. (Alonso y Finn, 1, 166-7)

Tipos de fuerzas

En mecánica hablamos de fuerzas con independencia de su naturaleza. Por consiguiente, ante un problema o fenómeno determinado, será necesario determinar la naturaleza de todas las fuerzas que intervienen en él.

Conocemos sólo cuatro fuerzas básicas en que puede interaccionar la materia. Es decir, existen cuatro interacciones fundamentales que explican las fuerzas conocidas del Universo:



  • interacción gravitatoria

  • interacción electromagnética

  • interacción fuerte

  • interacción débil

La interacción gravitatoria, que es la más débil de todas, mantiene globalmente la Tierra, enlaza el Sol y los planetas dentro del sistema solar y agrupa las estrellas en las galaxias. Es la responsable del drama a gran escala del Universo.

La interacción electromagnética enlaza los electrones a los átomos y los átomos entre sí para formar moléculas y cristales. Constituye la interacción más significativa para toda la química y la biología.5

La interacción fuerte aglutina los nucleones; agrupa íntimamente neutrones y protones para formar los núcleos de todos los elementos. La fuerza más intensa conocida en la naturaleza es también de alcance muy corto. Es la interacción dominante de la física nuclear de alta energía.

La interacción débil existe entre las partículas elementales ligeras (los leptones: electrones, neutrinos y muones) y entre éstas y las partículas más pesadas... Este tipo de interacción no puede formar estados estables de la materia en el sentido en que la fuerza gravitatoria puede formar un sistema solar. (Berkeley, 1, 457-8)

Interacciones y fuerzas

Por consiguiente, debe quedar clara la idea de que cualquier interacción entre una partícula y su entorno puede expresarse en términos de una fuerza que actúa sobre la partícula. Y más generalmente, cualquier interacción entre un sistema de partículas y su entorno puede expresarse en términos de una fuerza que actúa sobre el sistema de partículas. Así como las interacciones entre las partículas de un sistema pueden expresarse mediante fuerzas internas del sistema.

Este concepto no tiene ninguna restricción, es decir, es válido tanto para partículas atómicas elementales, para sistemas de partículas homogéneos, como una bola de hierro, como para un sistema de partículas muy heterogéneo, como un ser humano. Por ejemplo, cuando un ser humano se desplaza hacia un punto determinado de su entorno, sabemos que es debido a una interacción entre él y su entorno, y que, por consiguiente, esta interacción puede expresarse como una fuerza (emoción, sentimiento) que actúa sobre el ser humano.

Lógicamente, cuando más complejo y heterogéneo es el sistema de partículas (como por ejemplo un ser humano) más complejas y heterogéneas son las interacciones entre él y su entorno, y, por tanto, más complejas son las fuerzas que actúan sobre él. Ahora bien, el hecho de que nos sea muy difícil identificar la naturaleza de tales fuerzas, no nos debe llevar al error de olvidar que tales fuerzas existen. Por lo tanto, en nuestro modo de conceptualizar los diversos conocimientos de la naturaleza humana que vayamos adquiriendo, debemos tratar de no olvidar en último extremo, que todo proceso o fenómeno es el resultado de la existencia de fuerzas que actúan sobre el ser humano. Es decir, hemos de procurar describir cualquier proceso natural en términos de las fuerzas que lo causan, ya sea que hablemos de una bola de hierro o de un grupo de adolescentes.

El estudio de la dinámica clásica es imprescindible para comprender los conceptos fundamentales de fuerza, energía, trabajo, etc., que luego deberemos utilizar correctamente para describir y comprender los fenómenos humanos. No olvidemos que la mecánica estudia estos conceptos con independencia de la naturaleza de las interacciones que causan los procesos.

Equilibrio y reposo

Una partícula se encuentra en reposo con relación a un observador inercial cuando su velocidad, medida por este observador, es cero. Una partícula se encuentra en equilibrio con respecto a una observador inercial cuando su aceleración es cero (a = 0). Luego, de la ec. (7.15), llegamos a la conclusión de que F = 0; esto es, una partícula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas actuantes es cero.

Una partícula puede estar en reposo con relación a un observador inercial, pero no estar en equilibrio. Igualmente, una partícula puede estar en equilibrio y no estar en reposo relativo a un observador inercial. Por dicha razón muchas personas consideran erróneamente los dos conceptos como sinónimos. (Alonso y Finn, 1, 190)]

Impulso

Al resolver la ecuación fundamental de la dinámica de una partícula (esto es, F = dp/dt), podemos siempre realizar una primera integración si conocemos la fuerza en función del tiempo, ya que de esta ecuación obtenemos por integración



o sea




(8.1)

La magnitud I que aparece a la derecha se llama impulso. Por consiguiente la ec. (8.1) nos dice que

el cambio de momentum de una partícula es igual al impulso.

Sin embargo, en los problemas importantes que surgen en la física, la fuerza sobre una partícula no se conoce como función del tiempo, sino como función de la posición especificada por r o x, y, z; es decir, como F(r) o F(x, y, z). Para salir de este aparente círculo vicioso debemos recurrir a otras técnicas matemáticas que nos conducirán a definir dos nuevos conceptos: trabajo y energía. (Alonso y Finn, 1, 202-203)

Trabajo

Los conceptos de trabajo y energía se introducen para resolver la ecuación del movimiento cuando se conoce la fuerza en función de la posición y no del tiempo, lo cual es el caso más usual.}



Consideremos una partícula A que se mueve a lo largo de una curva C bajo la acción de una fuerza F (Fig. 8-1). En un tiempo muy corto dt la partícula se mueve de AaA', siendo el desplazamiento.

Fig. 8-1. El trabajo es igual al desplazamiento multiplicado por el componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento.



El trabajo efectuado por la fuerza F durante tal desplazamiento se define por el producto escalar



(8.2)

Designando la magnitud del desplazamiento dr (esto es, la distancia recorrida) por ds, podemos también escribir la ec. (8.2) en la forma



(8.3)

Verbalmente podemos expresar este resultado diciendo que

el trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento.

Notemos que si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo efectuado por la fuerza es cero. Por ejemplo, esto sucede en el caso de la fuerza centrípeta en el movimiento circular, o en le de la fuerza de gravedad cuando un cuerpo se mueve sobre un plano horizontal.



La ec. (8.2) da el trabajo para un desplazamiento infinitesimal. El trabajo total sobre la partícula cuando ésta se mueve de AaB es la suma de todos los trabajos infinitesimales efectuados en los sucesivos desplazamientos infinitesimales. Esto es,



(8.5)

Cuando la fuerza es constante en magnitud y dirección y el cuerpo se mueve rectilíneamente en la dirección de la fuerza, se tiene un caso particular interesante. Entonces FT =F y la ec. (8.5) da



(8.6)

o sea trabajo = fuerza x distancia, que es la expresión encontrada normalmente en textos elementales. El trabajo de la resultante de varias fuerzas aplicadas a la misma partícula es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas componentes. (Alonso y Finn, 1, 203-206)

Unidades de trabajo

Las ecs. (8.2) y (8.6) nos muestran que el trabajo debe ser expresado en términos del producto de la unidad de fuerza por la unidad de distancia. En el sistema MKSC, el trabajo se expresa en newton metro, unidad que se llama joule y se abrevia J. Por tanto un joule es el trabajo efectuado por una fuerza de un newton actuando sobre una partícula que se mueve un metro en la dirección de dicha fuerza. El nombre joule fue escogido en honor de James Prescott Joule (1816-1869), científico británico, famoso por sus investigaciones sobre los conceptos de calor y energía.

En el sistema cgs, el trabajo se expresa en dina centímetro, unidad que se llama erg. (Alonso y Finn, 1, 207)

Potencia

En las aplicaciones prácticas, especialmente las de ingeniería y mecanismos, es importante conocer la rapidez del trabajo efectuado. Se define la potencia instantánea por





(8.9)

Esto es, se define la potencia como el trabajo efectuado por unidad de tiempo durante un intervalo dt muy pequeño. Usando las ecs. (8.2) y (5.17), podemos también escribir



(8.10)

y así la potencia puede definirse también por el producto de la fuerza por la velocidad. La potencia promedio durante un intervalo t es obtenida dividiendo el trabajo total W, dado por la ec. (8.5), entre el tiempo t, lo que da

Desde el punto de vista de la ingeniería, el concepto de potencia es muy importante, pues cuando un ingeniero diseña una máquina, es la rapidez con que puede efectuar el trabajo lo que importa, más bien que la cantidad total de trabajo que la máquina pueda realizar. (Alonso y Finn, 1, 206-207)

La potencia P es la transferencia de energía por unidad de tiempo.

A partir de la potencia P(t) como una función podemos escribir el trabajo proporcionado como



En el sistema CGS la unidad de potencia es un erg. por segundo. En el sistema MKS la unidad es un joule por segundo, o watt. (Berkeley, 1, 144-145)

Energía

La energía es una abstracción matemática que no tiene existencia aparte de su relación funcional con variables y coordenadas que tienen una interpretación física y que pueden medirse. (Abbott y Vanness, 1)





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