Análisis multivariante de datos en psicologíA



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ANÁLISIS MULTIVARIANTE DE DATOS EN PSICOLOGÍA


ANÁLISIS FACTORIAL EXPLORATORIO
1.1. Introducción

1.2. El Modelo De Análisis Factorial Exploratorio

1.3. Estructura De La Matriz De Correlaciones En El Modelo De Análisis Factorial: Teorema Fundamental

1.3.1. Modelo De Factores Ortogonales

1.3.2. Modelo De Factores Oblicuos

1.4. Métodos De Extracción Factorial

1.4.1. El Análisis de Componentes Principales

1.4.2. Método de los Factores Principales

1.4.3. Máxima Verosimilitud

1.4.4. Otros Métodos De Extracción Factorial

1.5. Soluciones Factoriales Derivadas: Rotaciones

1.5.1. Métodos Gráficos

1.5.2. Métodos Analíticos

1.6. Interpretación De Los Factores Obtenidos

1.7. Puntuaciones Factoriales

1.1 Introducción al Análisis Factorial Exploratorio (AFE)
Al hilo de los temas que vamos desarrollando, además de los criterios que hemos comentado antes para clasificar a las técnicas multivariantes, se suele utilizar otro que hace referencia al objetivo de la técnica concreta. Atendiendo a este último criterio al análisis factorial se le clasifica como una técnica para la reducción de datos o para la simplificación estructural. En las páginas que siguen intentaremos aclarar en qué sentido el AFE es una técnica de reducción de datos.

Haciendo un poco de historia, el AFE es una de las técnicas multivariantes más ligada a la investigación psicológica; de hecho se ha llegado a confundir con una teoría psicológica. Surge con la intención de "proporcionar modelos matemáticos para la explicación de las teorías psicológicas de la capacidad y comportamiento humano" (Comrey, 1985; Harman, 1980, p. 23). Fue Charles Spearman en 1904 el primero en describir la ejecución de los sujetos en un test de inteligencia en términos de un factor general (factor g)y un factor específico (s) propio de cada test. Esta formulación de Spearman dió lugar a la Teoría Factorial de la Inteligencia. Aunque, Spearman está considerado el padre del análisis factorial lo que se entiende en la actualidad por AFE tiene su punto de partida en el trabajo de Thurstone "Multiple Factor Analysis" publicado en 1931. Thurstone estableció la relación entre las correlaciones observadas y los coeficientes de la matriz factorial e introdujo el concepto de "estructura simple" y las primeras rotaciones en el espacio de los factores comunes (Cuadras, 1981).

Además del trabajo de Spearman, otros autores han podido, utilizando AFE, identificar nuevos conceptos científicos o definir con más precisión otros ya conocidos (García, Gil y Rodríguez, 2000). Eysenck (1947, 1967) utilizó el AFE para confirmar su idea de que la personalidad podía definirse en torno a dos dimensiones básicas: extroversión-introversión y neuroticismo-estabilidad emocional. Cattell (1957, 1972) también utilizó el AFE para reducir los casi ochenta y tres factores vinculados con rasgos de personalidad que había descrito en su “Universal Index of Source Traits”. Desde estas primeras investigaciones hasta nuestros días, son innumerables las investigaciones en ciencias sociales y naturales que utilizan AFE para simplificar la estructura de un problema buscando subgrupos de variables manifiestas coherentes entre sí (Tabachnick y Fidell, 1983; Tacq, 1997).

Desde un punto de vista matemático, los inicios del Análisis Factorial le confieren a éste un carácter puramente geométrico y exploratorio. Con posterioridad se han desarrollado procedimientos que permiten caracterizarlo como un método estadístico y permiten un uso inferencial y confirmatorio de dicha técnica.

El objetivo esencial del análisis factorial es describir, si fuera posible, las correlaciones o covarianzas observadas entre un conjunto de variables en términos de un número menor de variables aleatorias no observables denominadas factores, variables latentes o constructos (Johnson, 1988, 1998). El argumento que soporta este objetivo es el siguiente: en el supuesto de que podamos identificar grupos de variables con correlaciones altas entre sí y bajas con las variables que pertenecen a otros grupos, se puede entender que cada grupo de variables representa a una variable latente o factor. Este factor subyacente es el responsable de las correlaciones observadas.

Un ejemplo puede aclarar el objetivo del AFE. Reuchlin en 1964 se propuso estudiar la estructura factorial de la matriz de correlaciones observadas entre asignaturas que se imparten en enseñanza media. Concretamente, consideró las notas en las asignaturas matemáticas, ciencias naturales, francés, latín y literatura y calculó, a partir de la matriz de puntuaciones observadas (X), la matriz de correlaciones entre las asignaturas (R). La matriz de correlaciones obtenida fue:






CN

M

F

La

Li


CN

1

0.804

0.366

0.427

0.232

M




1

0.138

0.426

0.408

F







1

0.813

0.747

La










1

0.812

Li














1





En la matriz anterior se pueden identificar dos grupos de variables con correlaciones altas entre sí y bajas con el resto. Un grupo estaría formado por las variables Ciencias Naturales y Matemáticas (r = 0.804) y el otro grupo por las variables latín, literatura y francés. Cada grupo representaría a un factor. Reuchlin, etiquetó uno de los factores como habilidad lógico-formal y al otro como habilidad verbal. La representación, en el plano definido por los dos factores implícitos en la matriz de correlaciones nos da idea de la similitud entre las variables. Así, si consideramos un sistema de ejes rectangular, las asignaturas de matemáticas y ciencias naturales están próximas y en el extremo del eje correspondiente a la habilidad lógico-formal; mientras que las asignaturas: latín, literatura y francés están más próximas entre ellas que con las anteriores y cercanas al extremo del factor correspondiente a la habilidad verbal (ver figura 1.1).

El objetivo del análisis factorial va a ser, por tanto, obtener e interpretar ese conjunto reducido de m variables latentes que permiten dar cuenta de la covariación existente entre las p variables originales, con la restricción de que el número de factores, m, sea menor que el número de variables medidas, p (Batista, 1981). Gráficamente dos variables Xi y Xj están correlacionadas porque, en mayor o menor medida, son indicadores de la misma variable latente (ver figura 1.2).




En Psicología estamos muy acostumbrados a trabajar con variables latentes: la inteligencia, la personalidad, la motivación, el desarrollo moral, las actitudes, etc. Todas estas variables no son directamente observables; lo que observamos y cuantificamos son conductas en las que, entendemos, que se ponen de manifiesto esos constructos. El objetivo del análisis factorial será identificar e interpretar las variables latentes, dimensiones, factores o constructos que están en la base de las correlaciones observadas. La descripción de algunas investigaciones, desarrolladas en diferentes ámbitos de la Psicología, en las que se ha utilizado Análisis Factorial nos ayudarán a entender esta importante técnica multivariante.

Así, entre otras, estudiaremos las siguientes investigaciones:
1)Dimensiones básicas en una escala de autoestima aplicada a los alumnos de la asignatura Análisis Multivariante de Datos en Psicología.

2) Estudio de las dimensiones básicas de las ideas de los padres/madres acerca de la educación de sus hijos/as.

3) Estudio de las dimensiones básicas en el comportamiento en el aula de maestros de preescolar.

4) Dimensiones básicas en el comportamiento inteligente en humanos.

5) Actitudes políticas de la población española.

6) Actitudes ante las asignaturas del área de metodología de la facultad de Psicología.

7) Actitudes ante el conductismo de los alumnos de la Facultad de Psicología de la Universidad de Sevilla.

8) Actitudes ante el consumo de refrescos en la población española.

En resumen, el análisis factorial nos va a permitir describir el fenómeno bajo estudio en términos de sus dimensiones básicas eliminando la información redundante. Como subproducto, va a ser posible, también, obtener las puntuaciones de los sujetos en los factores latentes y utilizar dichas puntuaciones en análisis posteriores. Las nuevas variables (factores) no son directamente observables obedeciendo a conceptos de naturaleza más abstracta que las variables originales y se obtienen por un proceso de elaboración a partir de las covariaciones o correlaciones entre las variables observadas.

El punto de partida, como tendremos oportunidad de ver a lo largo del desarrollo de este tema, va a ser la matriz de correlaciones (R) entre las variables observadas o la matriz de varianzas-covarianzas (S). De ahí que, sea necesario que las variables estén medidas al menos en escala de intervalo y que tengan una razonable unidad experimental. Por ejemplo, es adecuado un análisis factorial sobre tests que midan la inteligencia o sobre tests que midan personalidad, pero no sería adecuado mezclar los dos tipos de tests (Cuadras, 1981). Una vez descrito el objetivo del análisis factorial exploratorio, en los puntos que siguen desarrollaremos los aspectos formales necesarios para poder utilizar, con la ayuda de software adecuado, el AFE.


1.2. El modelo de Análisis Factorial Exploratorio.
El modelo de análisis factorial exploratorio supone que toda variable observada (Xi) es combinación lineal de un número menor de variables no observables denominadas factores. Se distinguen dos tipos de factores:

a) factores comunes (fj): son fuentes de variación comunes a todas las variables (Xi) y,



b) factores específicos (ui): son fuentes de variación específicas de cada variable. En este término se incluyen también los errores de medida (ei). Así, cada variable observada se expresa como una combinación lineal de factores comunes y específicos de la siguiente manera:
(1.1)

en notación matricial el sistema de ecuaciones (1.1) viene dado por



o en forma compacta

X =Af+Du (1.2)

En la expresión (1.2), x, f y u son vectores que contienen, respectivamente, p variables observadas, m factores comunes y p factores específicos. La matriz A de orden p×m y de término general {aij} es la matriz de cargas, pesos o saturaciones factoriales. Se le denomina patrón factorial y es, junto a la estructura factorial, que definiremos más tarde, una de las matrices necesarias en toda solución factorial.

Sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que las variables incluidas en el modelo (1.2) son variables reducidas o tipificadas. Es decir,
E(xi) = 0 E(fj) = 0 E(ui) = 0

Var(xi) = 1 Var(fj) = 1 Var(ui) = 1

y que las relaciones entre factores comunes y específicos son las siguientes:


- los factores comunes (fj) no correlacionan con los factores específicos (ui)
Corr (fj, ui) = 0
- los factores específicos no correlacionan entre sí
Corr (ui,uk) = 0

y si asumimos, además, que


- los factores comunes están incorrelacionados entre sí
Corr (fj, fi) = 0 si i  j,
el modelo (1.2), con la última restricción, recibe el nombre de modelo de factores comunes ortogonales. Esta última condición permite expresar las variables en función de factores independientes, en el sentido de que no exista entre ellos interdependencia lineal, con el fin de encontrar "causas latentes" no redundantes (Cuadras, 1991).

Si, por el contrario, consideramos que los factores comunes pueden covariar el modelo es de factores oblicuos. En análisis factorial exploratorio se suele utilizar, fundamentalmente, el modelo de factores ortogonales, dado el desconocimiento acerca de la estructura factorial subyacente. El modelo de factores oblicuos tiene más sentido en análisis factorial confirmatorio como veremos en el tema 5.

Asumiendo, por tanto, factores comunes incorrelacionados el problema del análisis factorial va a reducirse a determinar la matriz A de pesos factoriales y a interpretar los factores obtenidos a partir de dichos pesos.

Para determinar la matriz A es necesario relacionarla con la matriz de correlaciones (o de varianzas-covarianzas) entre las variables observadas.




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