Análisis de datos en psicologíA 1



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MEDIDAS DE POSICIÓN





    1. Centiles o percentiles

Son 99 valores de la variable que dividen a la distribución en 100 secciones, cada una conteniendo a la centésima parte de las observaciones. Se pueden representar por la inicial de cada uno de los dos términos que los designan más el subíndice correspondiente, Ck o Pk (k = 1,2,...99). Se simboliza por C28 a aquella puntuación que deja por debajo de sí al 28 por 100 de las observaciones y que es superada por el 72 por 100.


Aunque por definición son sólo 99 valores, por extensión a veces se utilizan posiciones intermedias, como, por ejemplo, el centil 88,5 o C88,5, que sería aquel valor de la variable por debajo del cual se encuentra el 88,5 por 100 de las observaciones.
Dado que los valores correspondientes a los centiles se determinan en función de los porcentajes de observaciones, normalmente las distancias entre ellos, en términos de puntuación, no serán constantes. Generalmente las distancias entre los centiles intermedios serán menores que las distancias entre centiles extremos.
Las puntuaciones correspondientes a los centiles 55 y 56 serán más cercanas entre sí que las puntuaciones correspondientes a los centiles 98 y 99, o las de los centiles 2 y 3. Esto se dará, en distribuciones simétricas, mientras que a medida que las distribuciones se van haciendo más asimétricas esta relación hay que matizarla algo más.
Los centiles no suelen calcularse con cantidades pequeñas de datos y cuando es necesario hacerlo se obtienen sencillamente ordenando las puntuaciones y calculando la proporción de éstas que superan al valor que se quiere comparar. Normalmente los centiles se obtienen sobre datos agrupados en intervalos, y en su cálculo se asume el supuesto de distribución homogénea intraintervalo.
Estamos buscando la puntuación que deja por debajo de sí a 140, que es una cantidad intermedia entre 90 y 150. El procedimiento que se utiliza para calcular ese valor, y que se recoge en la fórmula que veremos a continuación, consiste en adoptar como representación del C70 un valor perteneciente al intervalo 11 – 14 que mantenga una relación de proporcionalidad con respecto a la frecuencia buscada. Se trata de buscar una puntuación de ese intervalo que divida a las observaciones pertenecientes a él en dos grupos, uno que incluya a las 50 observaciones inferiores y otro que incluya a las 10 restantes. De esta forma, ese valor dejará por debajo de sí a 50 observaciones pertenecientes al intervalo, más las 90 que quedaban por debajo de su límite exacto inferior, totalizando las 140 buscadas. Dado que esa puntuación debe dejar a 50 por debajo y 10 por encima, debe ser una puntuación más cercana al límite superior del intervalo que al límite inferior. El procedimiento se resume en la siguiente fórmula:

Ck = Li + I · k · n - na

ni 100
Ck es la puntuación correspondiente al centil k

Li es el límite exacto inferior del intervalo crítico

I es la amplitud de los intervalos

ni es la frecuencia absoluta del intervalo crítico.

k es el porcentaje de observaciones inferiores a Ck

n es el número de observaciones hechas

na es la frecuencia absoluta acumulada hasta Li


    1. Otros cuantiles




      1. Deciles

Son nueve puntuaciones que dividen a la distribución en 10 partes, cada una conteniendo al 10 por 100 de las observaciones. Se representan por Dk, donde k indica el número del decil al que se refiere.




      1. Cuartiles

Son tres puntuaciones que dividen a la distribución en cuatro partes, cada una conteniendo al 25 por 100 de las observaciones. Se representan por Qk, donde k indica el número del cuartil al que se refiere.



  1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL





    1. La media aritmética

El índice de tendencia central más utilizado es la media. Se define como l asuma de los valores observados, dividida por el número de ellas. Se representa con la misma letra que representa la variable, en mayúsculas , con una barra horizontal encima. Por tanto, si recogemos n observaciones de la variable X, entonces la medida de los valores observados es:


X =  Xi / n
De donde se deduce que:
 Xi = n · X



      1. Cálculo en una distribución de frecuencias

Cuando se tiene un conjunto grande de observaciones, éstas tradicionalmente se han agrupado en distribuciones de frecuencias, para luego hacer los cálculos sobre la distribución.


Vamos a describir el procedimiento para hacer los cálculos de la media con datos agrupados en una distribución de frecuencias.
Para hacer los cálculos se asume el supuesto de concentración en el punto medio del intervalo.
Para hallar la media se asume el supuesto de concentración en el punto medio del intervalo.
X =  ni · Xi

n
Se diferencia de la fórmula anterior en que: el sumatorio no tiene n sumandos, como en la fórmula anterior sino tantos como intervalos tenga la distribución y las Xi no son los datos directos, sino los puntos medios de los intervalos.




      1. Propiedades de la media aritmética

Puntuaciones directas: valores brutos y los representamos por la letra de la variable en mayúsculas.


Puntuaciones diferenciales: diferencias de cada sujeto con respecto a la media grupal, las representamos por la letra minúscula.
Xi = Xi - X

La razón por la que la suma de las diferenciales es igual a cero es que unas son positivas y otras negativas y se compensan unas con otras.




  • La suma de los cuadrados de las desviaciones de unas puntuaciones con respecto a su media es menor que con respecto a cualquier otro valor.




  • Si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, la media aritmética quedará aumentada en esa misma constante.




  • Si multiplicamos por una constante a un conjunto de puntuaciones, la media aritmética quedará multiplicada por esa misma constante.




  • La media total de un grupo de puntuaciones, cuando se conocen los tamaños y las medias de varios subgrupos hechos a partir del grupo total, mutuamente exclusivos y exhaustivos, puede obtenerse ponderando las medias parciales a partir de los tamaños de los subgrupos en que han sido calculadas.

XT = n1 · X1 + n2 · X2 + … + nk · Xk

n1 + n2 + n3 + … + nk


  • Una variable definida como la combinación lineal de otras variables tiene como media la misma combinación lineal de las medias de las variables intervinientes en su definición




    1. La mediana

Mediana: aquella puntuación que fuera superada por la mitad de las observaciones, pero no por la otra mitad, se suele representar por Mdn.


Para su cálculo podemos encontrarnos en dos casos generales, aquel en el que contamos con un número impar de observaciones y aquel que nos encontramos con un número par de ellas. En el primero se toma como mediana el valor central: en el segundo se da la circunstancia de que cualquier valor comprendido entre los dos centrales cumple con la definición de la mediana. Fechner propuso tomar la media aritmética de los dos valores centrales.



    1. La moda

Una tercera vía para representar la tendencia central de un conjunto de valores consiste en informar del valor más frecuentemente observado. Se presenta por Mo, y se define sencillamente como el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.


Como norma, para obtener la moda ordenaremos los valores de menor a mayor para así facilitar la identificación del de mayor frecuencia.


  • Cuando todos los valores tienen la misma frecuencia, es un caso en el que la moda no se puede calcular, decimos que es una distribución amodal.

  • Cuando hay dos valores con la misma y máxima frecuencia en este caso se dice que la distribución tiene dos modas o que es una distribución bimodal.



  • Cuando disponemos de una distribución de frecuencias, se toma como moda el punto medio del intervalo con mayor frecuencia. También en distribuciones de frecuencias pueden darse los casos anteriores. En ellos se utilizarían las mismas reglas que acabamos de exponer, pero aplicadas a los puntos medios de sus intervalos.




    1. Comparación entre medidas de tendencia central

Si no hay ningún argumento de peso en contra, se preferirá siempre la media. Hay dos razones para apoyar esta norma general. La primera es que en ella se basan otros estadísticos y la segunda es que es mejor estimador de su parámetro que la mediana y la moda.


Hay al menos 3 situaciones en las que se preferirá la mediana a la media:


  1. Cuando la variable esté medida en escala ordinal

  2. Cuando haya valores extremos que distorsionen la interpretación de la media

  3. Cuando haya intervalos abiertos, situaciones en las que el intervalo superior carece de límite superior, el intervalo inferior carece de límite inferior o ambos.

La media es extremadamente sensible a las puntuaciones y un cambio en sólo una de ellas supone un cambio en la media aritmética, mientras que la mediana sólo se vería alterada por cambios en los valores centrales.


La mediana será la segunda candidata para representar la tendencia central y si no hay argumentos de peso en contra se preferirá la mediana a la moda:


  1. Cuando se trate de una variable medida en escala nominal

  2. Cuando haya intervalos abiertos y la mediana pertenezca a uno de ellos.





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