1♦ estructuras algebraicas en la secundaria



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Óvalo 12


1♦ ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS EN LA SECUNDARIA
INTRODUCCIÓN
Cuando se tenga que enseñar Matemática, es recomendable basarla en Estructuras, ya sean éstas, Algebraicas, de Orden, Topológicas, etc. Pero nuestro interés no debe ser el que nuestros estudiantes comprendan tal o cual Operación; con lo que estaríamos haciendo, a lo más, una Matemática Constructiva.

Lo que el estudiante debe entender-y esa es la misión del Profesor de Matemática (hacerle entender)-cuál es la relación o relaciones que existen entre los elementos del sistema.

Si logramos esto, tranquilamente podrían desconocer la naturaleza de los objetos con los que están operando; con lo que estaremos resaltando la naturaleza de las relaciones entre los objetos antes que la naturaleza misma de éstos.

De esta manera se estará actuando algebraicamente. Según el matemático Eberhard Fels: “Donde se hace con letras lo que se quiere, donde sólo se necesita decir: yo represento por x un conjunto de cosas cualesquiera y hago con él, según buen juicio, esto o aquello, pero diciendo lo que hago…eso es el Algebra”.



Algunos conceptos teóricos que pueden ser dados a los estudiantes de secundaria, teniendo en cuenta las condiciones de cada uno de ellos y del grupo, serían, salvo mejor parecer, los siguientes:
LEYES DE COMPOSICIÓN (LCI)
Definición.- Sea el conjunto A; se dice que en A está definida una Ley de Composición Interna (LCI),

Si aA y bA; (aTb)A.
(aTb), quiere decir:
a compuesto con b pertenece a A”.
Ejemplos:


  1. Sea A el conjunto de los números naturales, la operación conocida usualmente como Adición, es una LCI en N.

Porque a,bN; (a+b)N.


  1. En el mismo conjunto N, la multiplicación usual, es una LCI; ya que para todo par de números naturales (a,b), le hace corresponder ab, que siempre es natural.




  1. La división en el conjunto de los números racionales diferentes de 0, es una LCI, ya que

(a,b) de Q - 0; ab Q-0.


  1. Contraejemplo: La sustracción en N no es una LCI; ya que, por ejemplo

Para 6,8εN; 6-8N
Ejercicios


  1. Analizar si la Multiplicación en Z(enteros) es una LCI.




  1. Analizar si la División en Z es ua LCI




  1. Averiguar si las operaciones anteriores, definen LCI en Q.(Números racionales).


NOTA: Usar, simplemente Ley de Composición (LC), en lugar de Ley de Composición Interna (LCI).
PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA


  1. CONMUTATIVA:


Definición.- Una Ley de Composición T, es Conmutativa en un conjunto A,

Si (a,b)A; se cumple (aTb) = (bTa)
Ejemplos:


  1. La Adición en N es una LC Conmutativa, porque

A +b = b +a; (a,b) N.

  1. La Multiplicación en N, es una LC Conmutativa; también lo es en Z.


Ejercicios:


  1. ¿Es Conmutativa la Sustracción en Z?




  1. ¿Qué sucede con la sustracción en N?




  1. ASOCIATIVA:


Definición.- una Ley de Composición T es Asociativa en A

si (a,b,c) de A, se cumple aT(bTc) = (aTb)Tc
Ejemplos:


  1. La Adición en N es Asociativa




  1. La LC en A = a,b,c, dada por la siguiente tabla




T

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b


Es Asociativa

Porque cumple: aT(bTc) = (aTb)Tc

Ejercicios:


  1. ¿La siguiente tabla define una LC Asociativa para A=a,b,c ?




T

a

b

c

a

a

b

c

b

a

b

c

c

a

a

b




  1. ¿Cuáles de las siguientes operaciones son Leyes de Composición en Z. Cuáles son Asociativas: Sustracción, multiplicación y división.




  1. EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO Y ELEMENTOS SIMÉTRICOS.


Definición a).- Si para una Ley de Composición T, definida en el conjunto A, existe (), A, tal que (/) cumple la relación

aT = Ta = a, aA

Este es el elemento neutro para T en A.


Definición b).- Si en un conjunto A con elemento neutro , para una Ley T y a, b de A; cumplen

aTb = bTa =

a y b son simétricos. Cada uno es simétrico del otro.


Ejemplos:


  1. Para la adición definida en N, el 0 es el elemento neutro, porque  aN, se cumple

A+0 = 0+a = a

  1. La LC & definida en Z, y que cumple con la relación a&b =a+b+5a; tiene como elemento neutro al 0.

  2. Para la multiplicación en Q, el 1 es elemento, porque  aQ, se cumple

a.1 = 1.a = a

  1. En Z con la Adición, m y –m son simétricos

Porque m+(-m) = 0

  1. En Q, con la multiplicación a/b y b/a son simétricos porque




  1. En la siguiente tabla



T

a

b

c

a

a

b

c

b

b

b

a

c

c

a

c



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