Universidad de Los Andes



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Preliminares

La unidad curricular Matemáticas IV se ubica en el quinto semestre de la Licenciatura de Educación Mención Matemáticas de la Facultad de Humanidades en la Universidad de Los Andes, en la cual se estudian los siguientes tópicos fundamentales: Sucesiones, Series, Integrales Impropias y Ecuaciones Diferenciales. El proyecto busca introducir el uso de herramientas por cada tema, como lo son, la historia de las matemáticas y su aspecto lúdico con la finalidad de motivar al estudiante.



Justificación

El proyecto se justifica porque con frecuencia se presentan casos de falta de interés hacia la matemática por parte del educando, en cualquier nivel de su formación, la cual es originada en muchos casos por poca confianza en el dominio de los contenidos a enseñar y en muchos otros por escasez de motivación para presentar los temas a enseñar.

Creemos firmemente que el refuerzo de las destrezas de los contenidos a enseñar y la fortaleza de conocimientos que estén a nivel superior de esos contenidos en el docente aportan la confianza necesaria para un cabal desenvolvimiento en sus labores pedagógicas.

Así mismo creemos que la enseñanza de los contenidos relacionándolos con sus orígenes históricos y sus potenciales aplicaciones en las ciencias –y en la matemática misma- podrían generar en el estudiante una actitud positiva hacia el tópico que pretendamos enseñar. Un objetivo similar se puede obtener mediante una enseñanza amena valiéndonos de elementos lúdicos.



Objetivos Generales

Diseño e Implementación de técnicas de didáctica y pedagogía a fin de incrementar los conocimientos de Educación Básica y Media Diversificada utilizando como herramientas, a manera de incentivar y motivar a los estudiantes, elementos de historia de las matemáticas y la introducción de algunos elementos lúdicos para el logro de estos fines.



Objetivos Específicos

  • Fortalecer el conocimiento del futuro docente en tópicos de la matemática que están a un nivel superior de los contenidos a enseñar, particularmente todo el contenido de Matemáticas IV correspondiente al pensum de la Licenciatura de Educación Mención Matemáticas de la Facultad de Humanidades en la Universidad de Los Andes.



  • Introducir la historia de las matemáticas en cada tema del programa (Sucesiones, Series, Integrales Impropias, Ecuaciones Diferenciales) con el propósito de motivar y captar la atención del estudiante.



  • Desarrollar las habilidades del pensamiento individual y colectivo a través de distintos elementos lúdicos que serán introducidos por cada tema.



  • Reforzar a través del Cálculo Diferencial e Integral temas de Educación Media y Diversificada como factorización, completar cuadrados, identidades trigonométricas, entre otros.

Propuesta

Considerando que nuestro objetivo principal es elaboración de una estrategia de trabajo que vaya más allá del clásico uso de tiza, borrador y pizarra, se plantea además del uso de métodos de didáctica y pedagogía emplear elementos de la historia de las matemáticas, elementos lúdicos y algunas aplicaciones prácticas a fin de lograr el interés por parte de los estudiantes.

De esta manera, el primer tema, Sucesiones, puede motivarse a través del estudio en la introducción por parte de Fibonacci de un modelo matemático el cual realizó para explicar el crecimiento de población de conejos, con el fin de dar una idea intuitiva del concepto de sucesión, seguido de la formalización del mismo y estudio de sus propiedades. En cuanto al aspecto lúdico se pretende dar a conocer e implementar algunos juegos de pensamiento a los estudiantes, por ejemplo, el juego de 11 tal como lo describe Martin Gardner en su ensayo de Número de Lucas y Números de Fibonacci.

Por otra parte, el tema de Series podemos motivarlo con la idea de sumas finitas y particularmente el caso de las series condicionalmente convergentes el cual ilustra que para el caso de sumas infinitas no se cumple la ley de conmutatividad. Además del uso de la enseñanza experimental por medio de aplicaciones a ciertos problemas de la física, química y biología.



Existen figuras geométricas (entendiéndose por una figura geométrica cualquier subconjunto del plano) que tienen perímetro infinito que encierran áreas finitas, esté hecho puede ser una motivación del acercamiento lúdico al estudio de la integral impropia, de esta manera se estudiarán sus aplicaciones así como los distintos criterios de convergencia de series numéricas. Es importante reflejar la gran utilidad que tienen las integrales impropias en todas las ramas del saber, especialmente en las estadísticas la cual está fundamentada en teoría de probabilidades, particularmente en las distribuciones de variables aleatorias siendo una de las más importantes la distribución normal, la cual está intrínsicamente relacionada a la integral impropia . Además, la gráfica de la función f(x)= representa una figura geométrica de perímetro infinito de área finita (Campana de Gauss).

Por último, Ecuaciones Diferenciales. Existen problemas de física, especialmente en mecánica, donde resulta más importante desde nuestro punto de vista el cálculo de primitivas que el de pendiente de una curva, es el caso de la ecuación de cantidad de movimiento, tratándose simplemente de una ecuación diferencial que ha generado interés desde hace más de tres siglos; llama la atención de la comunidad científica como lo es el estudio de la descomposición radioactiva. Aplicaciones como éstas se pretende exponer a los alumnos con el objeto de dar a conocer la importancia de las ecuaciones diferenciales.


Cabe destacar, que además del uso de la historia, así como elementos lúdicos y algunas aplicaciones, se elaborarán listas de problemas que el alumno deberá resolver con el propósito de desarrollar y fortalecer habilidades a la hora de resolver los mismos y ¿por qué no? que como ente innovador puedan crear y proponer sus propios problemas.

Estrategias Metodológicas

Enseñar una clase de matemáticas o de cualquier otra disciplina, consiste en la narración oral o escrita, por medio de la cual se pretende establecer un diálogo claro y preciso con el fin de lograr el entendimiento del tema que se está tratando. Para lograr tal propósito debemos no sólo usar las herramientas que los libros de cálculo nos presentan sino además recurrir al uso de algunas estrategias metodológicas que nos facilitan captar la atención de los estudiantes, despertar su interés, estimular el gusto por la materia, así como el transmitir de manera amena, anecdótica e interactiva el conocimiento matemático, el surgir de algunas teorías y la importancia de las mismas, tal como recomienda el matemático, escritor, miembro de la Real Academia Española, Miguel de Guzmán Ozámiz, en su libro “Tendencias Innovadoras en Educación Matemática”.

Los temas a enseñar en el curso de Matemáticas 40 son los siguientes: sucesiones, series infinitas, integrales impropias, series de potencia y ecuaciones diferenciales. Cada uno de estos temas va precedido de una motivación bien sea histórica, de aplicabilidad a otras ciencias y de la misma matemática a través de las siguientes estrategias metodológicas:

Uso de la Historia de la matemática

Enseñar Matemática es enseñar a resolver problemas y la historia de la Matemática nos proporciona una guía para introducir de manera anecdótica los diferentes temas, dando a conocer interesantes personalidades que han hecho grandes aportes al desarrollo de la matemática e intentando explicar cómo, cuándo y bajo qué circunstancias surgieron algunas teorías como solución a problemas de la vida cotidiana, como lo es el caso de la conocida Sucesión de Fibonacci, la cual se origina según Martin Gardner, mediante la construcción de un modelo matemático que explica bajo ciertas condiciones el crecimiento de una familia de conejos que además de ser interesante, por su potencial aplicabilidad en el estudio de crecimiento de poblaciones, constituye una fuente de gran riqueza para el desarrollo del capítulo de sucesiones dando a conocer de esta manera la idea intuitiva del concepto de sucesión, la forma en que surgió como solución a un problema sencillo, algunas de sus propiedades y su gran importancia en el mundo real, tal como lo es su curiosa presencia en la naturaleza, conocido mediante el número de oro.

Así pues, el conocimiento de la historia nos proporciona una visión histórica de la evolución de la matemática además de destacar la importancia de los temas a estudiar y nos permite introducir, como estrategia metodológica el elemento sorpresa en nuestra enseñanza, pues ya se ha dicho que enseñar cualquier asignatura consiste en una narración y si queremos convencer, como mínimo debemos captar la atención del educando, por lo tanto, recurrimos a las técnicas narrativas entre las que se cuenta el elemento sorpresa en el desarrollo de la trama, es así como en el estudio de integrales impropias usamos la existencia de figuras geométricas que tienen perímetro infinito y encierran áreas finitas, como por ejemplo, la campana gaussiana. Aprovechamos el tema para presentar una breve bibliografía del matemático alemán Carl Frederich Gauss, resaltando sus aportes a la teoría de estadística y probabilidades a través de la distribución normal, también llamada distribución gaussiana, creemos que conociendo la vida y anécdotas de los cultores de la matemática, se pueda despertar el interés por su estudio; destacamos también la forma en que Carl Frederich en su niñez sorprendió a su maestro sumando los números del 1 el 100; así se pretende explicar de manera sencilla, no sólo las importancia de esta distribución sino las propiedades y la gran utilidad de las integrales impropias.

Es cierto que la matemática es una de las ciencias más difíciles de aprender y enseñar según el matemático Miguel de Guzmán Ozámiz, razón por la cual es pertinente buscar diferentes formas de motivación al momento de pretender que los estudiantes aprendan esta ciencia, así como también es cierto por experiencia propia que uno de los temas que genera más inquietud en ellos, no por su interés en él, sino porque ven un nivel de dificultad, sin desmerecer los demás temas, es el capítulo de ecuaciones diferenciales; es por ello que se trató de manera diferente a los demás temas sin dejar de lado los antecedentes y resaltando una vez más su gran impacto en la historia de la humanidad a través de una breve reseña sobre las guerras mundiales en las cuales se ha hecho uso desmedido de agentes químicos como el “uranio” para bombardear al enemigo, elemento producto de la descomposición radioactiva, la cual es posible estudiar gracias a la gran herramienta que constituyen las ecuaciones diferenciales, no sólo para el estudio de la creación de agentes químicos sino también para muchos otros fines como por ejemplo, calcular la antigüedad de los fósiles y la antigüedad de un árbol a través de la descomposición radioactiva, estudiar el crecimiento de una población, entre otros. De esta manera, no sólo se pretende motivar al estudiante, sino le aportamos gran cantidad de información que, además de ser útil para su formación como futuros profesores, también alimenta su cultura general conociendo la riqueza de la evolución de algunas teorías y su importancia en otras ramas de la ciencia, lo cual a su vez le permite incrementar su acervo de recursos didácticos y pedagógicos.



Uso de la Heurística

Es importante en la enseñanza de la matemática la resolución de problemas para que el estudiante logre alcanzar progresivamente por medio de los mismos el dominio de las propiedades dadas en el desarrollo de cada tema, ejercitando su creatividad y destreza al momento de enfrentar un problema , activar su capacidad mental, la confianza en sí mismo; pues no olvidemos que estamos enseñando a futuros docentes de matemática en la Escuela Secundaria, es así como en el capítulo de series y sucesiones reforzamos los contenidos curriculares de secundaria como productos notables, factorización, potenciación, radicales, compleción de cuadrados y suma de fracciones, aprovechando la oportunidad que nos brinda el cálculo de límites. De igual manera, es importante el dominio de derivadas, no sólo para el cálculo de límites sino también para el capítulo de integrales impropias y por su puesto, para el estudio del tema de ecuaciones diferenciales; es por ello que se realizaron talleres por cada tema, no sin antes haber hecho un breve quiz de derivadas en el cual debían hacer uso de las propiedades antes mencionadas, pues es importante resaltar que para el curso de Matemáticas 40 es imprescindible el dominio de derivadas ; en vista de que la gran mayoría no lo dominaba y considerando su importancia para el estudio del curso , dedicamos la primera semana a la resolución de problemas de derivación con el fin de nivelar a los estudiantes . Cabe destacar, que en el desarrollo de cada clase se solucionaron detalladamente problemas, a fin de que los estudiantes al momento de los talleres tuviesen conocimiento de la manera de abordarlos, sin dejar de lado la asistencia personal de mi parte al momento de los mismos, dando oportunidad a los estudiantes de despejar sus dudas y al mismo tiempo, dándome la oportunidad de conocer las dificultades de cada uno de ellos. Además, la resolución de problemas no sólo permite que los estudiantes pongan en práctica y apliquen las propiedades dadas en clase, sino que también les brinda la oportunidad de desarrollar problemas de aplicación a otras áreas como la Física, Biología, Probabilidades, Combinatoria y Geometría, por supuesto, acordes con el nivel y contenido de cada tema.



Modelización y Aplicaciones

Como ya hemos mencionado, es de vital importancia conocer la utilidad, en nuestro caso, de las series y sucesiones, integrales impropias y ecuaciones diferenciales en la solución de problemas, no sólo del pasado, sino de la actualidad, razón por la cual además de recalcar a través de la heurísca algunas propiedades, se expone por cada tema aplicaciones a otras áreas de la matemática y otras ciencias, tal es el caso del capítulo de integrales impropias, en el cual por medio de la distribución normal se explica de manera geométrica e informal cómo la campana gaussiana ayuda al estudio de los niveles de azúcar en la sangre de un individuo, así como en el capítulo de series aparecen en los talleres problemas de fractales (serie geométrica) y física de manera que el estudiante se sienta atraído por la materia y capte la importancia que tiene el conocimiento matemático aplicado a otras áreas con el fin de motivarlos y que no se lleven la impresión de estudiar temas que no tienen utilidad , que sólo sirven para hallar un simple número, que a lo mejor para ellos sólo significa eso, “un número” sin sentido e interpretación alguna. Cabe destacar, que con este propósito se organizaron exposiciones en el capítulo de ecuaciones diferenciales, no sin antes haber dado en clase los diferentes métodos, en cada exposición se asignó una aplicación, por ejemplo; Física (resistencia de un resorte), Biología (crecimiento del ser humano, crecimiento de poblaciones), Química (soluciones ácido-bases), Medicina (marcapasos), Economía (estudio de oferta y demanda) y Paleontología (edad de los fósiles).

Además, como parte de la evaluación, la cual se explicará más adelante, se asignaron trabajos por cada tema, en los cuales al menos uno de los problemas era una aplicación de la teoría enseñada en clases (ver anexos). Sin dejar de lado el factor sorpresa, una vez terminado el capítulo de series se expuso la no conmutatividad de las series condicionalmente convergentes bajo reordenamiento, destacando que la suma finita de los números reales es conmutativa, propiedad que preservan las series incondicionalmente convergentes pero que, por el contrario, no se cumple en las series condicionalmente convergentes; no para ser evaluado, sino como valor agregado, tomando en cuenta el nivel de conocimiento de los estudiantes, explicando algunas demostraciones de la manera más clara y sencilla posible para su entendimiento, pues recordemos que nos estamos dirigiendo a estudiantes de humanidades, quienes parecieran no estar familiarizados con las demostraciones matemáticas, hecho que genera algunas observaciones de mi parte, las cuales será expuestas posteriormente.

De manera similar, en el capítulo de series de potencia nos dedicamos un poco al estudio del Binomio de Newton, tema de gran importancia no sólo por la relación de sus coeficientes con el triángulo de Pascal sino también, y aún más relevante, su relación con la teoría combinatoria, dando así ejemplos sencillos y prácticos, por supuesto, sin alejarnos de nuestro principal objetivo, motivarlos al estudio de nuestra materia, Matemáticas 40.



Uso de la Lúdica

Con el fin de despertar el interés y el gusto por la materia en los estudiantes acudimos también al uso de recursos lúdicos además de hacer más divertida y dinámica la clase aporta a los estudiantes trucos matemáticos por medio de los cuales pueden fortalecer sus habilidades y destrezas al momento de enfrentar un problema, juegos como los presentados anualmente en el encuentro de la física, química, matemática y biología , coordinado en nuestra escuela por el profesor Pérez Sánchez, quien no sólo se caracteriza por su excelente cátedra sino por usar esta metodología haciendo de la matemática un mundo mágico y divertido.

Del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes se ha expresado certeramente Martin Gadner, gran experto en la presentación de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista de divulgación científica, “Scientific American”, de la cual tomamos el Juego del 11 en el cual se hace uso de una de las propiedades más destacada de la sucesión de Fibonacci, juego que se realizó al final del capítulo de sucesiones.

Cronología

Semana 1


Fecha

Contenido

02/10/07

  • Presentación

Tema I: Sucesiones

  • Motivación: Sucesión de Fibonacci

  • Definición de sucesión

  • Definición de límite




04/10/07

05/10/07

  • Ejemplos de sucesiones crecientes y decrecientes

  • Teorema de convergencia de sucesiones

  • Aplicaciones

Semana 2

Fecha

Contenido

09/10/07

  • Taller I

  • Evaluación en el pizarrón

11/10/07

  • Quiz de derivación

  • Continuación del Taller I

  • Motivación: Juego del 11

12/10/07

Feriado

Semana 3

Fecha

Contenido

16/10/07

  • Repaso de derivadas, regla de la cadena, propiedades de potenciación.

18/10/07

Tema II: Series Infinitas

  • Definición

  • Definición de convergencia y divergencia de series (ejemplos)

  • Serie telescópica. Ejemplos

  • Serie armónica. Ejemplos

  • Serie geométrica. Ejemplos

19/10/07

  • Teorema de series convergentes. Ejemplos

  • Criterio del n-ésimo término para la divergencia de series. Ejemplos

Semana 4

Fecha

Contenido

23/10/07

  • Taller II

25/10/07

26/10/07

  • Criterio de la integral. Ejemplos

  • Teorema de la serie p. Ejemplos

  • Criterio de comparación por límite. Ejemplos

  • Criterio básico de comparación. Ejemplos

Semana 5

Fecha

Contenido

30/10/07

  • Criterio de la razón

  • Criterio de la raíz. Ejemplos

  • Definición de series alternantes

  • Ejemplos

  • Criterio para la convergencia de series alternantes. Ejemplos

  • Definición de series absolutamente convergentes

  • Ejemplos

01/11/07

  • Definición de series condicionalmente convergentes

  • Ejemplos

  • Criterio de la razón para series absolutamente convergentes. Ejemplos

  • Motivación: No conmutatividad de las series condicionalmente convergentes bajo reordenamiento.

  • Quiz

02/11/07

  • Taller III

Semana 6

Fecha

Contenido

06/11/07

  • Repaso de integración: Por partes

Por sustitución

Tema III: Integrales Impropias



  • Motivación: Bibliografía de Gauss

Campana Gaussiana.

Distribución Normal ( Importancia en la estadística)



08/11/07

  • Definición de integrales impropias

  • Integrales impropias con límite superior infinito. Ejemplos

  • Integrales impropias con límite inferior infinito. Ejemplos

  • Integrales impropias con límite superior e inferior infinitos. Ejemplos

  • Función de densidad exponencial

09/11/07

  • Primer Parcial

Semana 7

Fecha

Contenido

13/11/07

  • Repaso de la clase anterior por causa de manifestaciones

15/11/07

  • Taller IV

16/11/07

  • Integrales impropias con discontinuidad infinita. Ejemplos

  • Integral impropia con discontinuidad infinita en su límite superior e inferior. Ejemplos

Semana 8

Fecha

Contenido

20/11/07

  • Continuación del Taller IV

22/11/07

Capítulo IV: Series de Potencia

  • Definición de series de potencia en x

  • Intervalo de convergencia. Ejemplos

23/11/07

  • Ejemplos de series de potencia en x

  • Definición de series de potencia en (x-c)

  • Teoremas

  • Intervalo de convergencia. Ejemplos

Semana 9

Fecha

Contenido

27/11/07

  • Representación de funciones en series de potencia. Ejemplos

  • Intervalos de convergencia. Ejemplos

  • Teorema de representación de funciones en series de potencia. Ejemplos

29/11/07

  • Taller V

30/11/07

  • Continuación del Taller V

Semana 10

Fecha

Contenido

04/12/07

  • Series de Taylor. Ejemplos

  • Series de MacLaurin. Ejemplos

  • Serie del Binomio de Newton. Ejemplos

06/12/07

  • Segundo Parcial

07/12/07

No hubo clase (manifestaciones)

Semana 11

Fecha

Contenido

11/12/07

  • Discusión del Segundo Parcial

13/12/07

  • Repaso del capítulo de series de potencia

14/12/07

No hubo clase (manifestaciones)

Semana 12

Fecha

Contenido

08/01/08

  • Repaso de series de potencia.

  • Motivación: relación del binomio de newton con la teoría combinatoria.

10/01/08

  • Continuación del Taller V

11/01/08

Capítulo V: Ecuaciones Diferenciales

  • Organización de los grupos y fechas de exposiciones.

  • Asignación de las exposiciones

  • Discusión sobre la evaluación de la exposición y la presentación de su respectivo trabajo.

Semana 13

Fecha

Contenido

15/01/08

  • Motivación: Descomposición Radioactiva

17/01/08

  • Definición de ecuación diferencial ordinaria de primer orden

  • Ejemplos

  • Definición de solución de una ecuación diferencial. Ejemplos

  • Ecuaciones diferenciales separables. Ejemplos

18/01/08

  • Solución particular y general de una ecuación diferencial. Ejemplos

  • Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas. Ejemplos

  • Variación de parámetros. Ejemplos

Semana 14

Fecha

Contenido

22/01/08

  • Tercer Parcial

24/01/08

  • Ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Ejemplos

  • Ecuaciones diferenciales de Ricatti. Ejemplos

25/01/08

  • No hubo clase

Semana 15

Fecha

Contenido

29/01/08

  • Exposiciones 1 y 2

31/01/08

Feriado (Corridas de Toros)



01/02/08

Semana 16

Fecha

Contenido

05/02/08

Feriado (lunes de carnaval)

07/02/08

  • Exposiciones 3 y 4

08/02/08

  • Exposición 5

(*) Semanas de Extensión del Semestre

Semana 17



Fecha

Contenido

12/02/08

  • Exposiciones 6 y 7

14/02/08

  • Exposiciones 8 y 9

15/02/08

  • Exposiciones 10 y 11

Semana 18

Fecha

Contenido

19/02/08

No hubo clase ( ya habíamos terminado el programa)

21/02/08

22/02/08

  • Examen Diferido

Semana 19

Fecha

Contenido

26/02/08




  • Entrega de notas

28/02/08

29/02/08

(*) En el mes de noviembre a pesar de las fuertes manifestaciones estudiantiles debido a la cercanía de la Reforma Constitucional hubo una asistencia masiva a la clase. En oportunidades nos reuníamos a las 9:00 a.m. para no ser afectados directamente por las mismas, es por esta razón, que no perdimos muchos días de clase permitiéndonos cumplir de esta manera con el 100% del programa; además de sentirnos holgados en las semanas de extensión que el Consejo Universitario aprobó.

Evaluación

Trabajos: Se realizó un trabajo por cada tema (Series y sucesiones, Integrales Impropias, Series de potencia, Ecuaciones Diferenciales), en el que se les asignó problemas de aplicación, así como también, al menos una demostración con el propósito de despertar su gusto por las mismas y romper con el temor que presentaban ante ellas.

Exámenes: Se realizaron tres exámenes parciales por tema en los cuales se evaluaron ejercicios trabajados en los talleres; esto se hizo con el propósito de que los estudiantes se sintieran de alguna manera obligados a asistir a los talleres y a desarrollar todos los problemas asignados en los mismos, con el mismo propósito en cada examen se evaluó un ejercicio del trabajo.

Exposiciones: Como había mencionado antes, el tema de ecuaciones diferenciales fue tratado de manera diferente a pesar de que se dieron en clase los métodos para hallar las soluciones de los mismos, de manera que una vez terminado el capítulo se asignaron exposiciones en pareja, apoyadas en un trabajo, el cual tenía que estar muy bien presentado, justificando cada una de las operaciones que allí se realizaban así como también la justificación de los métodos que fueron usados con algunas demostraciones. En estas exposiciones se recalcaron los métodos vistos en clase además de una aplicación.

Evaluación continua: A pesar de no tener un peso porcentual específico se realizaron algunos quices, tareas, evaluaciones en el pizarrón y pequeños interrogatorios grupales con el propósito de que llevaran la materia al día, los cuales fueron tomados en cuenta a la hora de los exámenes.

Los porcentajes de evaluación fueron los siguientes,

Exámenes parciales 15%

Trabajos 10%

Exposición 15%

Trabajo de la exposición 10%



Limitaciones

  • El desinterés por el curso y por la entrega de tareas al comienzo del semestre. Es por ello que tomé la decisión de hacer evaluaciones continuas en el pizarrón y la aplicación de quices para que de esta forma se vieran obligados a leer el cuaderno y realizar los ejercicios propuestos como tareas, viendo al cabo de dos fuertes semanas un cambio satisfactorio.



  • La mayoría de los alumnos no recordaban derivar, por lo cual no podía avanzar en el contenido del programa sin antes hacer un esfuerzo intensivo de una semana para nivelar no sólo el cálculo de derivadas sino también reforzar algunas propiedades los conocimientos de bachillerato.



  • Conocían algunos teoremas vistos en los cursos de matemática anteriores pero no entendían la esencia ni el significado y aplicación de los mismos; entre ellos podemos citar el teorema del sandwich y el teorema de L`Hopital, por lo cual en momentos dejaba de lado la clase para dedicar un rato a explicar con ejemplos sencillos estos teoremas.



  • Las manifestaciones estudiantiles sin duda fueron una de las principales limitaciones en cuanto al normal y tranquilo desarrollo de la clase puesto que a pesar de la asistencia masiva por tratarse a horas de la mañana, a saber 10:00 a.m, las manifestaciones comenzaban alrededor de las 11:00 a.m. haciendo que la salida de la Facultad se tornaba en algunas ocasiones difícil y peligrosa. A pesar de ello, en oportunidades acordamos conjuntamente realizar las clases más temprano de lo usual para evitar la pérdida de clases.



  • La mala presentación de los trabajos. De una u otra forma fue una limitante en el avance de la clase puesto que cada vez que asignaba los trabajos era necesario dedicar al menos 20 minutos para explicar la manera correcta de presentar un trabajo en general, y más aún por tratarse de una trabajo de matemáticas, explicar la forma de desarrollar cierto problema y cómo hacer una demostración, pues en muchas oportunidades y con mayor frecuencia al principio del semestre, encontré trabajos realizados con distintos tipos de letras, desordenados, y carentes de redacción alguna.



  • La apatía y el temor a las demostraciones matemáticas. Incluso hubo personas que no distinguían la hipótesis de la tesis. Por esta razón, muchos de los objetivos planteados en la propuesta no fueron alcanzados en su totalidad, ya que los que los estudiantes no contaban con los conocimientos necesarios para el desarrollo de algunos temas, tal es el caso de la distribución normal el cual se dio de manera informativa, sin demostración alguna.


Recomendaciones

  • Exigir a los profesores que culminen con el programa de la materia asignada puesto que los mismos estudiantes manifestaron no estar lo suficientemente preparados para el curso de Matemáticas 40 debido a que en materias anteriores (las materias prelantes) no se dio todo el contenido del programa o se dio de manera superficial, razón por la cual no recordaban derivar y mucho menos integrar; recordemos la importancia de los mismos para el estudio de convergencia de series y sucesiones a través de evaluaciones de límites, así como la importancia que constituyen en el capítulo de integrales impropias y ecuaciones diferenciales.



  • Enseñar al estudiante desde el principio de la carrera a hacer pequeñas demostraciones para que, de alguna manera u otra, desaparezca el temor y desinterés que presentan por las mismas.



  • Mayor supervisión al personal obrero ya que en muchas oportunidades el salón no estaba en condiciones óptimas para el desarrollo de la clase.



  • Los estudiantes manifestaron su interés en que las demás materias sean de alguna u otra forma impartidas con un tipo de motivación, bien sea histórica o de aplicabilidad, de igual manera manifestaron su agrado por el presente proyecto, pues además de darles la oportunidad de conocer grandes personalidades de la historia de las matemáticas fortalecieron sus conocimientos a través de los talleres en los cuales también tuvieron la oportunidad de desarrollar y conocer algunas aplicaciones. Además, recalcaron ser la primera vez que ven una materia de esta manera, razón por la cual, les gustaría que esta forma de enseñanza fuese aplicada a las demás materias.

Resultados

En el curso de Matemáticas 40 hubo una asistencia hasta el final del curso de 19 personas, lo cual equivale al 95% de los estudiantes, pues a pesar de que no hubo retiros, el 5% restante equivalente a 1 estudiante no tuvo una asistencia frecuente; no digo con esto que hubo total asistencia todos los días pero entraban al menos dos veces de las tres clases semanales excepto esta persona.



Total de Estudiantes

20

100%

Estudiantes Aprobados

19

95%

Estudiantes Reprobados

1

5%

En el siguiente gráfico se puede observar el promedio de cada parcial y trabajo por capítulos. En el primer capítulo series y sucesiones el promedio general fue 8.35 ya que los estudiantes no dominaban derivadas y algunas propiedades básicas, rendimiento muy distinto al del segundo parcial, 12.6, resultado que atribuyo al arduo esfuerzo realizado en los talleres. En el tercer parcial, 10.35. Notablemente, el rendimiento fue mucho mayor en los trabajos ya que los mismos fueron elaborados en parejas con un tiempo no mayor de una semana para su entrega.

A continuación, un gráfico en el cual se presenta los promedios del curso en forma porcentual;



El promedio general del curso fue, 11.4 puntos. En el gráfico podemos observar que el 5% con 08 puntos, 40% entre 10 y 11 puntos, 20% entre 12 y 13 puntos, 10% entre 14 y 15 puntos, y 25% entre 16 y 17 puntos.

En general, el rendimiento del curso fue bueno a pesar de las limitaciones que al pasar el tiempo fueron superándose poco a poco a través de los talleres.

En cuanto al curso anterior a éste, a saber A-2007, el total de personas inscritas fue de 9 personas de las cuales 5 aprobaron el curso y 4 lo reprobaron.



En mi opinión este proyecto trae consigo muy buenos resultados, no sólo en la parte cuantitativa, sino también en la parte cualitativa, pues claramente se observó un gran cambio en el interés de los estudiantes por la materia y un cambio de actitud completo ya que en un principio presentaban gran apatía por la materia e incluso temor por la misma. Sería interesante que estas estrategias metodológicas sean empleadas en otras materias para estudiar los resultados y hacer posteriores comparaciones y estudios al respecto.

Los siguientes son los elementos motivaciones expuestos en clase por cada capítulo como lo hemos explicado anteriormente, así como algunas biografías de personalidades matemáticas.

La sucesión de Fibonacci


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