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MATEMÁTICAS


En este documento se destaca el papel de la Educación Matemática en la formación del ciudadano actual y por ende en la formación del educador matemático. Se describen los componentes fundamentales del conocimiento profesional de los docentes que serán objeto de evaluación: ejes de contenido y competencias y se presenta la estructura de la prueba. Aparecen además algunas referencias bibliográficas relacionadas con los elementos anteriores.

En la sociedad actual se reconoce que la cultura matemática resulta esencial para que los individuos tengan una vida productiva y con sentido, el lenguaje y los valores de la matemática dotan al ciudadano de un instrumento de valor universal en que apoyar sus razonamientos y tomar decisiones responsables y libres en la sociedad compleja en que vivimos, donde reinan por doquier los grandes números y las relaciones causales o probables entre fenómenos. Una cultura matemática bien fundamentada permitirá al ciudadano desenvolverse en sociedad, comunicarse y recibir información general, para interpretar y tomar decisiones consecuentes con su interpretación. Las matemáticas constituyen uno de los pilares sobre los que se ha edificado la ciencia moderna, y en consecuencia el desarrollo tecnológico, sus aplicaciones en los distintos campos del conocimiento se consolidan día a día con el avance de la investigación

La escuela, en consecuencia, debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos pues además de que la formación matemática es un requisito esencial para el estudio de una amplia variedad de disciplinas, debe potenciar a los estudiantes con los conocimientos, destrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diaria; debe prepararlos tanto para la educación superior, como para desempeñarse eficientemente en una sociedad que evoluciona rápidamente y tiene problemáticas muy diversas, debe proporcionarles experiencias que los animen a valorar la matemática y a adquirir confianza en su propia capacidad.

En nuestro país, elementos muy importantes de esta nueva filosofía de la educación matemática, se plasmaron en los Lineamientos Curriculares, los Estándares de Competencias Básicas y las propuestas de evaluación, pero posiblemente por el alcance de los cambios que se derivan de esta nueva filosofía en lo curricular y en el tipo y calidad de las prácticas, los docentes, están aún en el proceso de interpretar y asumir las nuevas perspectivas. En consecuencia, los diversos problemas de la educación matemática, documentados desde investigaciones nacionales e internacionales persisten en nuestras aulas.

La evaluación en el área es fundamental entonces para determinar si a través del estudio de los documentos, la práctica profesional y la participación en programas de formación continuada, los docentes han consolidado y enriquecido su conocimiento profesional en lo disciplinar, lo pedagógico y lo didáctico, deberá centrarse especialmente en indagar si los docentes de matemáticas se han potenciado para cualificar sus prácticas y crear nuevo conocimiento acerca de las matemáticas escolares.

Definición general del área o disciplina

En la última década numerosas investigaciones nacionales e internacionales en el campo de la Educación Matemática se han orientado a estudiar y caracterizar el conocimiento profesional de los docentes de matemáticas. Estas investigaciones, que hacen referencia a las competencias del docente de matemáticas y al carácter de su conocimiento profesional se retoman en los actuales planes de formación inicial y continuada (pregrado y postgrado) de las universidades colombianas

El conocimiento profesional del educador matemático es complejo, incluye desde luego la componente de los “cono­cimientos matemáticos”: contenidos de y sobre la disciplina: conceptos y procedimientos, métodos de construcción, validación y comunicación, es­tructuras cognoscitivas, aplicaciones, construcción de modelos matemáticos, matema­tización y planteamiento y solución de problemas; así como, conocimientos filosóficos, históricos y sociológicos sobre las Matemáticas. Pero, la experiencia y la investigación han mostrado que un amplio conocimiento sobre la disciplina, no genera por si solo un docente competente en su práctica: competente para reorganizar y transformar de acuerdo al contexto, el currículo y el grupo los distintos dominios conceptuales. Un amplio conocimiento disciplinar, no genera por sí mismo, conocimiento pedagógico y didáctico fundamental en la formación del docente.

El conocimiento profesional del docente tiene como uno de sus pilares el conocimiento disciplinar, pero, está esencialmente relacionado con las elabora­ciones y construcciones que el docente propone para un tópico específico y las representaciones múltiples de éste, así como con los propósitos didácticos invo­lucrados. Hace referencia además a los mecanismos de pensamiento y razonamiento que pueden resultar fructíferos para el objetivo pedagógico, junto a los valores, creencias y concepciones que participan en la práctica de la enseñanza-aprendizaje en un nivel determinado.

En consecuencia, la competencia del docente en el área de matemáticas se relaciona con el uso flexible y comprensivo, en contextos diversos, del conocimiento matemático y del conocimiento matemático escolar para transformar el saber a enseñar en objeto de enseñanza (trasposición didáctica). Este uso se puede evidenciar, entre otros, en su capacidad para analizar, razonar, y comunicar ideas efectivamente, para formular, resolver e interpretar problemas en situaciones didácticas. Abarca las competencias cognoscitivas sobre la disciplina; competencias en la argumentación, el razonamiento y la comunicación (lenguaje y representación); competencias en la matematización, modelización y resolución de problemas; el dominio de contenidos matemáticos y su conocimiento como objetos de enseñanza-aprendizaje, la vinculación de contenidos matemáticos básicos con fenómenos que los originan: el re­conocimiento de los aspectos formales implicados, su presen­cia en situaciones cotidianas y otras que procedan de ámbitos multidisciplinarios y los diferentes significados de los conceptos matemáticos y las estructuras. Pero, por el carácter mismo de la disciplina es inseparable de la capaci­dad del docente para analizar, interpretar y valorar los conocimientos mate­máticos de las y los estudiantes a través de sus producciones matemáticas, recono­cer diversos razonamientos, diagnosticar sus errores y proponer procesos de intervención adecuados; analizar problemas que surgen en situa­ciones de aprendizaje y diseñar, seleccionar y analizar unidades didácticas o textos.

En consecuencia las competencias profesionales de los docentes de matemáticas, se evidenciarán en el manejo y uso de los conceptos estructurantes del currículo de la educación básica y media, a través de: el reconocimiento, la identificación, la representación, y la contrastación de los diferentes objetos de la matemática escolar implícitos y explícitos en las situaciones propuestas, las explicaciones, razones y justificaciones que se pueden elaborar en relación con ellas. Las posibles modelaciones, caminos o estrategias seleccionadas frente a una situación serán descritas en las opciones de respuesta. Lo anterior con el propósito de identificar diferentes significaciones que los aspirantes han logrado del conocimiento matemático y del conocimiento matemático escolar y sus posibilidades de actuación en diversas situaciones de enseñanza, en donde se detecta cómo el docente moviliza dicho conocimiento y cómo o qué situaciones problémicas considera, que posibilitan la construcción de un conocimiento significativo.



Definición de contenidos y competencias

Ejes de contenido temático

Competencias del docente

  1. Número y Variación: Relacionado con la comprensión, representación, uso, sentido y significado de los números, sus relaciones y operaciones y con el reconocimiento descripción, modelación y representación de la variación y el cambio en distintos sistemas o registros simbólicos.

Temas específicos: Los números naturales (fases iniciales en el desarrollo de las ideas aritméticas, representación, significado de las operaciones, desarrollo y adquisición de las estructuras aditiva y multiplicativa), los números enteros (significados, representaciones, número con signo-operación), las fracciones, los decimales y los reales sus significaciones como objetos de la matemática escolar (representación decimal, procesos infinitos de aproximación en contextos numéricos y geométrico). Variable (diferentes interpretaciones de la letra: objeto - incógnita- número generalizado), concepto de función y su conexión con la variación, representaciones diversas (descripción verbal, tabla, gráfica fórmula), descripción de fenómenos de cambio y dependencia

  1. Geometría y Medición. Relacionado con características y propiedades de los objetos del espacio físico y los conceptos, propiedades y relaciones del espacio geométrico. Las magnitudes, su cuantificación y su uso con sentido y significado, la medida, su estimación y aproximación.

Temas específicos. Reconocimiento y análisis de figuras geométricas, relaciones entre distintas familias de figuras, interpretación y uso de definiciones que describen interrelaciones, análisis de ejemplos y contraejemplos, relaciones intra e interfigurales, transformaciones. Construcción de magnitud, conservación de magnitudes, unidades y patrones, estimación de magnitudes,

  1. Pensamiento Aleatorio. Relativo a los conceptos o procedimientos de la teoría de la probabilidad y de la estadística inferencial y descriptiva que permiten modelar situaciones de incertidumbre, de azar o de riesgo.

Temas específicos. Lectura e interpretación de diversas formas de representación de información numérica, análisis cualitativo de regularidades, tendencias, tipos de crecimiento, formulación de inferencias usando medidas de tendencia central y de dispersión que permiten modelar y comprender fenómenos caracterizados por la incertidumbre; diferenciación entre lo posible y lo dado; conceptos básicos de aleatoriedad y probabilidad y representaciones asociadas.


  1. Comprender y usar fundamentos, conceptos y estructuras matemáticas básicas. Dominar contenidos matemáticos y sus diferentes significados como objetos de enseñanza-aprendizaje. Reconocer conceptos, estructuras y sistemas formales que permiten modelar situaciones y fenómenos diversos.

  2. Argumentar: dar cuenta del cómo y del porqué, justificar estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones didácticas. Formular hipótesis, hacer conjeturas, explorar ejemplos y contraejemplos, generalizar, y reconocer y plantear preguntas.

  3. Comunicar: reconocer y describir relaciones matemáticas, usar e interpretar lenguaje escrito, oral, concreto, pictórico, gráfico y algebraico en la solución de problemas, usar diferentes representaciones, manipular proposiciones y expresiones simbólicas, traducir entre diferentes tipos de lenguaje.

  4. Modelar. Plantear y resolver problemas. Usar estructuras conceptuales o consolidar nuevas, matematizar situaciones dentro y fuera de la matemática escolar. Reconocer o proponer situaciones problema que permitan dar significado a conceptos y estructuras en el aula. Desarrollar y aplicar estrategias diversas para plantear un problema, Reconocer la razonabilidad y pertinencia de una estrategia o solución propuesta por los o las estudiantes en el aula.

Estructura de la prueba

Contenidos

Competencias

Total

Dominio disciplinar

Didáctica

Comprender y usar

Comunicar

Argumentar

Modelar

Número y Variación

8%

8%

9%

10%

35%

Geometría y Medición

9%

6%

10%

10%

35%

Pensamiento Aleatorio

6%

10%

8%

6%

30%

Total

47%

53%

100%

Preguntas de ejemplo

Ejemplo 01

Las siguientes preguntas de selección múltiple se aplicaron a un grupo de estudiantes en un instrumento de evaluación:

Pregunta I

El número real es

(i) irracional mayor que

(ii) racional menor que

  1. racional menor que

iv) irracional mayor que

Pregunta II

El enunciado “Existe por lo menos un número irracional mayor que y menor que + 1”, es

  1. falso, porque el siguiente de es + 1

  2. verdadero, porque es un irracional mayor que y menor que + 1

  3. falso, porque solamente hay números racionales

  4. verdadero, porque




La selección incorrecta y frecuente de la opción (iv) en la pregunta I y la opción (i) en la pregunta II, le sugeriría a usted que debe diseñar actividades orientadas fundamentalmente a reforzar

  1. las operaciones básicas entre números reales

  2. el procedimiento para pasar de la expresión decimal a la fracción

  3. la clasificación de los números reales en racionales e irracionales

  4. la representación decimal, el orden y las propiedades de los reales

Respuesta correcta: D

La pregunta indaga por la comprensión del concepto de número real, sus representaciones y propiedades (completez y densidad), aspectos incluidos en los estándares de calidad de los grados octavo a noveno. Está relacionada además con los diferentes significados de los números reales como objetos de enseñanza-aprendizaje y exige reconocer estructuras y sistemas formales.



Ejemplo 02

Leyendo la biografía de Arquímedes, el famoso matemático griego, un estudiante encontró que entre los muchos descubrimientos hechos por este matemático estaba la siguiente relación:

Si el radio de la base de un cono, el radio de la base de un cilindro, la altura del cono, la altura del cilindro y el radio de una semiesfera tienen la misma medida, entonces:

Volumen de un cilindro = Volumen semiesfera + Volumen cono

De las siguientes conclusiones propuestas por un grupo de estudiantes sobre el descubrimiento de Arquímedes, la correcta es:

  1. el volumen del cono es igual al volumen de la semiesfera

  2. el volumen del cono es la mitad del volumen del cilindro

  3. los volúmenes del cilindro y la semiesfera están en razón 3 a 2

  4. los volúmenes del cilindro y el cono están en razón 1 a 3

Respuesta correcta: C

La pregunta indaga por la relación entre volúmenes de diferentes sólidos dadas condiciones de invarianza en sus dimensiones. A través de las opciones no válidas el profesor puede identificar los posibles errores en el razonamiento de los estudiantes relacionados con el análisis y contrastación de relaciones y propiedades geométricas y métricas. El contexto elegido para formular la pregunta, sugiere una manera diferente de abordar estos temas en el aula.



Ejemplo 03

En la prueba SABER aplicada en el año 2005 se propuso a los estudiantes de grado noveno la siguiente pregunta:


En cierta laguna el número de peces ha empezado a disminuir, se cree que es a causa de la lluvia ácida. Para evaluar el efecto del pH del agua, sobre el desarrollo de peces, se realizó una investigación. Los resultados se presentan en la siguiente tabla.

Al observar los datos de la tabla, puede afirmarse que



      1. hay mayor probabilidad de que el huevo se desarrollo si el pH es mayor.

      2. hay mayor probabilidad de que el huevo se desarrollo si el pH es menor.

      3. la probabilidad de que el huevo se desarrolle para un pH de 6 es mayor que para un pH de 7.

      4. la probabilidad de que el huevo se desarrolle para un pH de 4,5 es menor que para un pH de 6,5

Una estrategia que no permite determinar la opción correcta es

  1. hallar la probabilidad frecuencial de cada uno de los eventos y comparar

  2. analizar en la tabla la frecuencia absoluta de cada uno de los eventos y comparar

  3. dividir el número total de peces que sobrevivieron entre 800

  4. dividir el número total de peces que sobrevivieron en cada ensayo, para cada pH, entre 200

Respuesta correcta: C

La pregunta indaga por conceptos básicos de probabilidad mediante la interpretación y uso de la información presentada en una tabla. Requiere además que el docente identifique la pertinencia de diferentes estrategias para resolver el problema.

Referencias Bibliográficas

Libros

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Artículos de revista

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1 Algunos elementos generales de esta sección fueron adaptados de la Guía No. 31 del MEN.

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