Capítulo V



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200 + 100 = 300

300+79+86

300 86 330 56 360 26 386

310 76 340 46 370 16

320 66 350 36 380 6
Los autores de esta estrategia han explicitado con asombrosa claridad una consecuencia de la propiedad asociativa que en general permanece implícita al resolver operaciones: lo que se suma a uno de los términos hay que restárselo al otro. Esta estrategia tan reveladora del alto grado de reflexión de los chicos sobre las operaciones muestra al mismo tiempo que para ellos no resulta obvio –como lo es para nosotros– que 300 + 86 es 386.

–Apoyarse sistemáticamente en los nudos es un recurso que utilizan algunos niños para configurar procedimientos más económicos. Es así como, para terminar la cuenta del ejemplo anterior, Javier suma 386 + 79 de la siguiente manera:

386+79

300


80 + 70 = 150
450 + 10 = 460 (Nótese la transformación de 9 + 6 en 10 + 5)

460 + 5 = 465


Del mismo modo, para resolver 36 + 145, Sebastián escribe:
145 + 5 + 10 + 10 + 10 + 1 = 181
Luego explica: “Puse el cinco porque con cinco ya sé que llego a ciento cincuenta”. La maestra le pregunta dónde estaba ese cinco y él responde: “En el treinta y seis, por eso al final también está el uno; si no, sólo hubiera sumado treinta y cinco”.

Todos estos chicos han tenido que resolver un problema matemático: el de elaborar por sí mismos procedimientos para encontrar el resultado de una operación. Al enfrentarse con este problema, ellos apelan sistemáticamente a la descomposición decimal de los términos. Esta descomposición adquiere distintas formas: en algunos casos se descomponen todos los sumandos y en otros sólo uno de ellos; en ciertos casos cada término se descompone en nudos y en otros también los nudos se descomponen en “dieces” o “cienes”.

Cuando esta cuestión se plantea por primera vez en primer grado, no todos los chicos utilizan procedimientos como los que hemos reseñado. La diversidad hace nuevamente su aparición: algunos cuentan con los dedos; otros trazan tantas rayitas como objetos deben sumar y luego las cuentan de a uno, y otros encuentran velozmente el resultado. Entre estos últimos hay quienes no pueden explicar cómo lo hicieron, mientras otros dan explicaciones similares a las de Mariano, Sebastián o Cecilia.

Proponer a los chicos que anoten de qué manera resolvieron la operación es dar un paso importante hacia el progreso de todos, porque esto permite que cada uno de ellos tome conciencia del procedimiento que ha utilizado y porque la confrontación se ve favorecida al abrirse la posibilidad de comparar anotaciones (y ya no sólo explicaciones orales).

Entre los chicos que inicialmente cuentan con los dedos o con marquitas en el papel, hay muchos que avanzan hacia la descomposición decimal gracias a la interacción con los compañeros que la utilizan. Para otros, en cambio, resulta difícil abandonar sus estrategias originales y es necesario ayudarlos de diversas maneras:13 proponiéndoles que recurran a los portadores, intentando que tiendan un puente entre su procedimiento y el de los otros chicos –por ejemplo, sugiriéndoles que vayan marcando con números los nudos a medida que van contando sus marquitas (el número diez al llegar a la décima ... )–, trabajando con los nudos de las decenas. Las actividades relativas a las regularidades vinculadas a las operaciones (véase el punto 22) jugarán también aquí un papel importante.

Ahora bien, ¿qué progresos en la comprensión del sistema pueden realizarse una vez que se utilizan procedimientos basados en el sistema decimal?

Cuando se incita a los chicos a buscar estrategias más económicas –y a veces antes–, surgen otras propuestas:

–Federico, para resolver el problema en el que hay que sumar treinta y nueve y veinticinco, anota:

30 + 20 = 50

50+ 9 =59

59 + 5 = 64

Luego, como para aclarar lo que hizo, agrega:



30 39 9

20 25 5
Cuando la maestra le pregunta por el significado de las flechitas, Federico responde: “Las puse para que se dieran cuenta de dónde saqué el treinta y el veinte que sumé primero”.



– Emanuel hace el cálculo de la misma manera que Federico y, cuando la maestra le pregunta cómo hizo para saber cuánto era treinta más veinte, él contesta: “Mirá, si tres más dos es cinco, entonces treinta más veinte tiene que ser cincuenta”.

  • Diego (segundo grado) explica cómo ha realizado la suma 473 + 218 anotando lo siguiente:



  • Florencia (segundo grado), además de seleccionar –en un enunciado que incluye datos superfluos– sólo los datos pertinentes para dar respuesta a la pregunta, explicita el procedimiento que ha utilizado para obtener el resultado:




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