Capítulo V


El sistema de numeración en el aula



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El sistema de numeración en el aula

Al pensar el trabajo didáctico con la numeración escrita, es imprescindible tener presente una cuestión esencial: se trata de enseñar –y de aprender– un sistema de representación. Habrá que crear entonces situaciones que permitan tanto develar la organización propia del sistema como descubrir de qué manera este sistema encarna las propiedades de la estructura numérica que él representa.

Dado que el sistema de numeración es portador de significados numéricos –los números, la relación de orden y las operaciones aritméticas involucradas en su organización–, operar y comparar serán aspectos ineludibles del uso de la numeración escrita. Resultará también imprescindible producir e interpretar escrituras numéricas, ya que producción e interpretación son actividades inherentes al trabajo con un sistema de representación.

Estas cuatro actividades básicas –operar, ordenar, producir, interpretar– constituyen ejes alrededor de los cuales se organizan las situaciones didácticas que proponemos.

Ahora bien, cuando –frente a las exigencias que nos planteó la escritura de este artículo– intentamos clasificar las situaciones realizadas en el aula, descubrimos que no era posible formar simplemente cuatro grupos (uno correspondiente a cada eje). En efecto, producir, interpretar, ordenar y comparar son actividades tan estrechamente vinculadas en la práctica didáctica que se hace difícil diferenciarlas con claridad: por una parte, para comparar números y para realizar operaciones resulta en general necesario producir o interpretar notaciones numéricas; por otra parte, en muchos casos la relación de orden interviene en la producción e interpretación de escrituras numéricas.

Es por eso que optamos por constituir dos grandes categorías: la primera comprende todas las situaciones didácticas que de algún modo se vinculan a la relación de orden, la segunda abarca aquellas que están centradas en las operaciones aritméticas. Producción e interpretación aparecen incluidas en cada una de estas dos categorías.

Seguramente, esta clasificación estará sujeta a sucesivas revisiones. Como diría Nadia, “Por ahora la hacemos así”.


  1. Situaciones didácticas vinculadas a la relación de orden

La relación de orden está presente en las situaciones propuestas de dos maneras diferentes: en algunos casos, es el eje de la actividad que se plantea; en otros casos, interviene como estrategia para resolver situaciones que no están centradas en ella.


1. 1. Una consigna: comparar números
¿Por qué proponer actividades centradas en la comparación? Cuando los números se representan a través del sistema decimal posicional, la relación de orden –como hemos visto– adquiere una especificidad vinculada a la organización del sistema. Es justamente esa especificidad la que se pretende movilizar a partir de las situaciones de comparación que se proponen a los niños.

Supongamos, por ejemplo, que hemos decidido instalar en el aula diferentes “negocios” –cuyo funcionamiento servirá como fuente de múltiples problemas aritméticos– y que estamos organizando el “kiosco”. Les contamos a los chicos que, con los caramelos que tenemos (todos iguales) armaremos bolsitas que contendrán cantidades diferentes (4, 26, 62, 30, 12 y 40) y que los precios de esas bolsitas son (en centavos) los siguientes: 45, 10, 40, 60, 25, 85. Les pedimos entonces que decidan cuál es el precio de cada tipo de bolsita y lo anoten. Luego se propondrá que, en pequeños grupos, confronten sus anotaciones y que, en caso de discrepancia, argumenten a favor o en contra de las distintas producciones. Finalmente, se discutirá con todo el grupo, a fin de establecer acuerdos.

Esta situación requiere que los niños ordenen –sea cual fuere la estrategia que utilicen para hacerlo– los dos conjuntos de números presentados, ordenamiento que estará orientado por un supuesto seguramente compartido por la mayoría de los niños: cuanto mayor sea la cantidad de caramelos, mayor será el precio de la bolsita.

Los criterios de comparación a los que apunta esta actividad

–”el primero es el que manda”, “a mayor cantidad de cifras...”11 no necesariamente serán puestos en acción por todos los miembros del grupo. Surgen entonces dos preguntas que –con toda justicia– el lector se estará formulando en este instante: ¿cómo resuelven la actividad quienes no utilizan criterios vinculados al sistema?, ¿qué aprenden los niños que ya han elaborado esos criterios?

La diversidad, como de costumbre, hace su aparición a través de las respuestas de los chicos: algunos realizan –con mayor o menor esfuerzo– el ordenamiento correcto, otros ordenan algunos números y aventuran una secuencia posible para los demás, hay quienes no se atreven a hacer nada sin consultar y también hay quienes se limitan a copiar las anotaciones de algún compañero.

Para los niños que realizan el ordenamiento sin esfuerzo, el momento de la discusión es también el momento del aprendizaje: por una parte, la necesidad de fundamentar su producción los llevará a conceptualizar aquello que hasta ese momento era simplemente un recurso que utilizaban pero sobre el cual seguramente aún no habían reflexionado; por otra parte, la elaboración de argumentos para apoyar o rebatir las producciones de sus compañeros enriquecerá su conceptualización. Quienes logran ordenar los números a través de un proceso que incluye muchas autocorrecciones aprenden tanto durante este proceso –la tarea para ellos todavía constituye un desafío– como cuando tienen que defender su producción frente a los demás.

Los chicos que establecen un orden parcial –ya sea porque se basan sólo en la serie numérica oral y ordenan entonces las escrituras numéricas cuya denominación conocen, ya sea porque utilizan únicamente el criterio que permite comparar números de diferente cantidad de cifras– aprenden a lo largo de toda la situación. En efecto, mientras, ordenan, se ven obligados a plantearse una pregunta que tal vez aún no se habían formulado: en qué basarse para establecer comparaciones entre los números que no pudieron incluir en el ordenamiento; durante la discusión, las argumentaciones de sus compañeros abrirán el camino hacia la respuesta. Formularse una nueva pregunta constituye un aprendizaje porque es el punto de partida para la elaboración de un nuevo conocimiento; escuchar la respuesta que otros dan a esa pregunta siempre hace posible algún progreso: puede ocurrir que esa respuesta –en el mejor de los casos– se asimile inmediatamente como propia, o que genere nuevas preguntas, o que –por lo menos– permita enterarse de que esas preguntas tienen respuesta y descubrir entonces que vale la pena buscarla.

Los niños que no arriesgan ninguna respuesta sin consulta previa aprenden porque también se hacen preguntas y, por lo tanto, lo que sus compañeros les contestan adquirirá necesariamente algún significado en relación con la pregunta formulada: puede ser que confirme lo que ellos habían pensado pero no se atrevían a asegurar, que entre en contradicción con sus ideas previas y genere entonces nuevas preguntas o que resulte una información nueva que habrá que comenzar a procesar. Es difícil saber, en cambio, qué aprenden los que se limitan a copiar –son muchas las causas que pueden motivar esta actitud– y por eso es fundamental incitarlos a reflexionar sobre lo que han anotado y a encarar la responsabilidad de producir una respuesta propia. Tanto los que consultan sin cesar como los que únicamente copian están emitiendo señales que será necesario registrar: habrá que intervenir orientándolos hacia formas de trabajo más autónomas.

Intentar que los chicos se consulten a sí mismos antes de apelar a una ayuda externa, que cada uno recurra ante todo a lo que sabe acerca de la numeración hablada y de la numeración escrita y descubra que algunos de sus conocimientos son pertinentes para resolver el problema planteado es tal vez la mejor manera de promover la autonomía.

Alentar la utilización de materiales donde aparecen números escritos en serie –centímetro, almanaque, regla, etc.– hace posible que los chicos aprendan a buscar por sí mismos la información que necesitan. Apelar a estos portadores resulta, además, útil para todos los chicos: los que están en condiciones de ordenar todos los números propuestos podrán utilizarlos para verificar su producción; los que pueden hacer ordenamientos parciales descubrirán cómo completarlos, ya que seguramente saben que –en esos materiales– “los números que están después son mayores”; los que aún no utilizan criterios de comparación descubrirán que en el soporte los números propuestos aparecen ubicados en un cierto orden, lo cual –además de permitirles efectuar el ordenamiento solicitado– tal vez los lleve a preguntarse sobre las razones de ese orden.

En síntesis, en el curso de esta situación, todos los chicos tienen oportunidad de buscar una respuesta, todos crecen gracias al trabajo cooperativo, todos realizan algún aprendizaje.

Situaciones similares a la planteada pueden proponerse apelando a contextos diferentes: ordenar las edades de los familiares de los chicos integrantes de un grupito, decidir el orden en que serán atendidas en la “panadería” las personas que han sacado determinados números, establecer comparaciones entre las alturas de los miembros del grupo –expresadas en centímetros– después de haberse medido... Por otra parte, todas las situaciones incidentales en las que establecer un orden es relevante –por ejemplo, cuando se leen noticias en las que aparecen encuestas de opinión sobre algún problema de actualidad- pueden dar lugar a discusiones acerca de los criterios de comparación.

Si bien muchas de las situaciones que proponemos –sobre todo al principio– reproducen contextos cotidianos en los cuales ordenar números tiene sentido, esta contextualización no siempre es imprescindible: la avidez de los chicos por develar los misterios que encierra el sistema de numeración hace de éste un objeto digno de ser considerado en sí mismo. Resulta entonces posible y productivo plantear algunas actividades que están centradas en los números como tales. Es lo que ocurre, por ejemplo, en los siguientes casos:

–Formar, con tres dígitos dados, todos los números posibles de dos y tres cifras y ordenarlos. Si se permite que las cifras se repitan en los números que se van a formar, la actividad resulta mucho más compleja, ya que en este caso habrá que formar y ordenar treinta y seis números en lugar de doce.

–Dado un número de dos cifras (45, por ejemplo), ¿dónde hay que ubicar una tercera cifra (4, por ejemplo) para que quede formado el número más grande posible? La situación se plantea proponiendo sucesivamente diferentes “terceras cifras”, para discutir luego en qué casos hay que ubicarlas a la derecha y en cuáles a la izquierda, elaborar una conclusión general y fundamentarla.

Ahora bien, cuando la mayoría de los niños pone en juego criterios de comparación válidos para producir ordenamientos, la discusión acerca de la fundamentación puede avanzar un paso más: vale la pena preguntarse por qué el primero es el que manda, por qué es mayor un número cuando tiene más cifras que otro. El eje de la discusión se ha trasladado: ya no se trata de apelar a los criterios para fundamentar el ordenamiento, se trata ahora de buscar la fundamentación de los criterios mismos. Esta reflexión conducirá a una comprensión mas profunda de la organización del sistema, al promover que se establezca la relación entre los criterios elaborados y el valor de cada cifra en términos de “dieces” o “cienes”.

Cuando se les requiere la fundamentación de los criterios, algunos niños se ven obligados a explicitar relaciones que ya utilizaban sin saberlo, otros coordinan conocimientos que tenían pero aún no habían relacionado y otros realizan un descubrimiento que se hace posible para ellos sólo en el marco de esta discusión. De este modo, afirmaciones como “no importa cuáles sean los números; si tiene tres (cifras) es más porque es de los cienes y éstos son “dieces” o “hay que fijarse en el primero porque así sabés (en un número de dos cifras) cuántos “dieces hay” son la conclusión común de historias diferentes para diferentes chicos.




  1. 2 La consigna es producir o interpretar, el orden es un recurso

Producir e interpretar escrituras numéricas es siempre un desafío para quienes están intentando adentrarse en el mundo de los números. “¿Qué número es éste?” y “¿cómo será el... (cincuenta y dos, por ejemplo)?” son preguntas aparentemente muy banales que resultan, sin embargo, apasionantes para los chicos cuando se refieren a números cuya escritura convencional aún no conocen.

Era posible prever –ejerciendo un prejuicio didáctico amplia mente compartido, a veces también por nosotras mismas– que resultaría más interesante y productivo trabajar con los números en contexto que con los números despojados de toda referencia a su uso social. Sin embargo, pudimos constatar que nuestros alumnos se entusiasmaban tanto cuando les proponíamos escribir los números del talonario de turnos para la “panadería” del aula como cuando simplemente les pedíamos que anotaran determinados números, que se interesaban tanto por leer las direcciones de sus compañeros como por interpretar números que habíamos escrito en el pizarrón.

La simple consigna de producir o interpretar un número –referido o no a un contexto cotidiano– funciona como una chispa a partir de la cual se entablan discusiones productivas: “Ese (1092, escrito en el sobre de una carta) no puede ser de los cienes, ¿no ves que los del cien tienen tres números y ése tiene cuatro?”, “El quinientos se escribe con los ceros cuando es quinientos solo –objeta Diego al ver que Malena, para anotar el precio 599, ha puesto en primer lugar '500'–, pero si decís quinientos noventa y nueve, los ceros quedan debajo de los nueves y no hay que escribirlos”.



Trabajar con los números enmarcados en el uso que socialmente se hace de ellos –es decir, con los números como precios, como edades, como fechas, como medidas...– es fundamental, no sólo porque les otorga sentido, sino también porque hace posible entender cómo funcionan en diferentes contextos. Trabajar con los números fuera de contexto también es significativo, porque los problemas cognitivos que se plantean son los mismos que aparecen en las situaciones contextualizadas y porque la interacción con los números al desnudo pone en primer plano que se está trabajando sobre el sistema de numeración, es decir sobre uno de los objetos que la escuela tiene la misión de enseñar y los chicos la misión de aprender.
Ilustración 1

Primer grado. Los chicos, agrupados de a dos, deben formar todos los números que puedan utilizando para ello la fecha de cumpleaños (día y mes) de los miembros de cada pareja. Finalmente, ordenarán de mayor a menor los números formados. Bruno y Leandro, que cumplen años el 11/4 y el 1/6, respectivamente, lo hicieron así:

¿Cuáles son entonces las situaciones de producción e interpretación que proponemos?



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