Capítulo V


Algunos números privilegiados: el rol de los nudos



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Algunos números privilegiados: el rol de los nudos

La apropiación de la escritura convencional de los números no sigue el orden de la serie numérica: los niños manejan en primer lugar la escritura de los nudos –es decir de las decenas, centenas, unidades de mil..., exactas– y sólo después elaboran la escritura de los números que se ubican en los intervalos entre nudos.

Veamos ante todo las respuestas de los niños:


Experimentador

Gisela

Escribí un número, el que tengas

ganas, que te parezca bastante alto.


¿Cuál es ése?
¿Y el dos mil cómo se escribe?
¿Ese es el dos mil?
¿Y éste (200) cuál es?
¿Y éste? (tapando un 0 del 1000)
¿Y el tres mil?
¿Y cómo escribirías el dos mil quinientos?
¿Y el quinientos?
Acá tenés el dos mil (señalando una escritura anterior) y acá el quinientos...No te servirá para nada para escribir el dos mil quinientos?

(Escribe 1000).


El mil.
(Escribe 200.)
(Agrega un cero a su escritura anterior.)
Doscientos.
El cien.
(Escribe 3000).
(Gran desconcierto.) No me acuerdo.
(Escribe 005.)

Sí... (No se anima.)



El caso de Nadia (6 años, primer grado) es aún más claro:


Experimentador

Nadia

Ahora te voy a pedir que escribas un número que vos pienses que es muy alto
Sí.
¿Cuál es?
¿Y mil cómo es?
¿Cómo te parece que será dos mil?
¿Y cuatro mil ?
¿ Nueve mil ?
¿ Diez mil ?
Y decíme... Mil cien, ¿cómo te parece que es?
¿ No existe ¿
¿Mil quinientos?

¿Muy alto?

Voy a escribir como máximo mil (escribe 900).
Novecientos.
(Escribe 1000.)
(Escribe 2000.)
(Escribe 4000.)
(Escribe 9000.)
(Escribe 10000.)
(Muy sorprendida.) ¿Mil cien? Para mí ese número no existe.
(Piensa un largo rato y luego escribe, 1000100.)
(Escribe 1000500.)

Si bien la mayoría de los niños entrevistados escribían ya en forma convencional los nudos de las decenas, las centenas y las unidades de mil, obtuvimos algunas respuestas que proveen indicios sobre el camino que los niños recorren para elaborar estas escrituras. Observemos, por ejemplo, las producciones y reflexiones de Christian (5 años, preescolar) en la siguiente situación:




Experimentador

Christian

Rubén

[...}
¿Y cómo escribirían ustedes el cien?

¿Cómo es?


¿Y el doscientos?
¿Y el trescientos?
Este (marcando el primer número escrito por Christian) ¿es el cien?
¿Y cuál es el ciento uno?

¿Y es igual que éste? (Señalando el primero.)

Ah! ¿ El que tiene el cero más grande es ciento uno?

(Es cierto!!)


Ajá...¿Y ciento cinco, cómo sería?
Bueno, cuando termines, avisános. (Mientras tanto, se pide a Rubén que escriba ciento treinta, ciento treinta y ocho, doscientos veintitrés, quinientos.)

Y vos, Christian , ¿podrías escribir quinientos?


Bueno, explicáme lo que

Vos dijiste antes que ibas a escribir hasta que se acabar el cien, ¿Cuándo se acaba el cien?

¿Cuál era ése?
¿Y éste? (señalando el que él acaba de producir).
¿Y te parece que puede ser que quinientos y ciento cinco se escriban igual?
¿Y cómo nos damos cuenta de cuál es cuál?
¿Con los mismos números?

¿Con raya cuál es?

¿Y sin raya?

¿Y mil?
A ver, ¿cómo lo escribirían?



Ah, No, yo lo puedo escribir bastantes veces el cien.
Un uno (lo escribe) y dos ceros (los escribe)

Yo no lo sé escribir.


Voy a escribir todos los números desde el cien hasta donde se termina el cien.

100 100 200

cien ciento ciento

uno dos
Sí.


Este (marca su segundo número: 100).

Sí..., no, porque éste (señalando el primer 100) tiene el cero más chiquito y éste (marcando el segundo) tiene el cero más grande.

Sí, y el uno también es más grande.

Esperá que quiero escribir desde el uno hasta donde termina el cien.

(Christian ha escrito: 100 100 200 3000 400)

¿ Quién no lo sabe al quinientos? Espero que me salga bien el cinco. (Escribe 500.)

(Lee)

100 100 200 300 400



cien ciento ciento ciento ciento

uno dos tres cuatro


(Piensa un rato) Iba a escribir hasta ciento nueve (agrega a su serie 500)

100 100 200 300 400 500

Es el ciento cinco (señalando 500) El mismo, mirá!! (mostrando la escritura anterior de 500 que él mismo había producido.)

Quinientos.

Ciento cinco.


No.
Hago uno grande y uno chiquito.

A éste (al que había interpretado antes como quinientos) le hago una raya : 500 y al otro lo dejo sin raya.

Quinientos.

Ciento cinco.

Yo lo sé escribir.


(Escribe 1000.) Cómo no voy a saber escribir el mil si antes escribí el cien mil! (Efectivamente, lo había escrito así: 1001000.)

(Escribe 100.)

Acá está el doscientos (escribe 200).


(Escribe 300)

(Escribe 105.)

(Escribe:

130


138

223


500.)

(Ha escrito mientras tanto, a pedido del experimentador siempre en forma convencional: 110, 900,932,907)

1000

Christian maneja ya la escritura convencional de la segunda y la tercera potencia de la base (100 y 1000). ¿Cómo utiliza el conocimiento de la escritura de cien para producir los números siguientes? Parece que no la utiliza como base para producir los otros nudos de las centenas –él dice que no sabe escribir doscientos, y quinientos parece ser una forma fija, probablemente conocida a través del billete de 500 australes–,5 sino para hipotetizar acerca de la escritura de los números comprendidos entre cien y ciento diez. El supone que estos números tendrán dos ceros –como cien– y que se diferenciarán de cien por la cifra inicial. El problema es que esta hipótesis no le permite diferenciar –utilizando números distintos– cien de ciento uno, y seguramente es por eso que apela al tamaño para diferenciarlos. Resulta además impactante constatar que el hecho de conocer la escritura convencional de quinientos no lo lleva a dudar de su hipótesis –en efecto, sigue afirmando que 500 representa ciento cinco–, sino a emplear un recurso no numérico para diferenciar las dos escrituras.6

Ahora bien, varios niños nos proveyeron –trabajando en el aula– escrituras aparentemente inversas a las de Christian, pero cuyo significado nos parece similar: ellos escriben cuatrocientos como 104, trescientos como 103, seiscientos como 106. Estos niños piensan que la escritura de los otros nudos de las centenas conserva características de la escritura de 100: también tienen tres cifras, pero en este caso se mantienen las dos primeras –el uno y el cero iniciales de 100– y se expresa la diferencia variando el último número.

Todos estos datos sugieren que los niños se apropian en primer término de la escritura convencional de la potencia de la base (100, es decir 102, en este caso), y que la escritura de los otros nudos correspondientes a esa potencia se elabora sobre ese modelo, conservando la cantidad de cifras, manteniendo dos de las cifras que componen cien y variando la otra. El caso de Christian indica que un procedimiento similar podría ser utilizado –al menos por algunos niños– para reconstruir la escritura de los números ubicados entre 100 y 110. El problema que se les planteará entonces será el de encontrar una manera de diferenciar numéricamente la escritura de doscientos y la de ciento dos, la de quinientos y la de ciento cinco, etcétera. La búsqueda de esta diferenciación seguramente conducirá a descubrir que en el caso de los nudos (200, 300, etc.) lo que varía –en relación con la escritura de cien– es el primer número, en tanto que en el caso de 101 ... 109, lo que varía es el último.



El papel de la numeración hablada

Los niños elaboran conceptualizaciones acerca de la escritura de los números, basándose en las informaciones que extraen de la numeración hablada y en su conocimiento de la escritura convencional de los nudos.

Para producir los números de cuya escritura convencional no se han apropiado aún, los chicos yuxtaponen los símbolos que conocen disponiéndolos de modo tal que se correspondan con el orden de los términos en la numeración hablada.

Veamos algunas escrituras y justificaciones de los sujetos entrevistados que ilustran claramente lo que intentamos decir:


–Lucila y Santiago (los dos tienen cinco años y asisten al jardín de infantes) escriben:

108 109


Los dos interpretan sus escrituras como “dieciocho” y “diecinueve” respectivamente.
–Yael hace algo similar, pero además nos lo explica:

Mientras está registrando su puntaje en el juego de la guerra, anota “dieciocho” como 108 y justifica diciendo que dieciocho se escribe así “porque hay un diez, que es un uno y un cero, entonces se ponen los dos con el ocho”.

Guillermo –su compañero, que escribe convencionalmente los números de dos cifras– objeta: “¡No! Porque es como pasa con el veinte o con el treinta... Porque el cero se usa para el treinta, pero no se usa para el treinta y uno, ni para el treinta y dos, ni para el treinta y tres. [ ... ] De tres números no se puede, no se puede [ ... ] porque el cien se escribe así [ 100 ]”. Yael lo escucha atentamente, pero un rato después escribe treinta y cuatro como 304 y –al mirar la escritura convencional de Guillermo (34)– afirma: “Para mí, se puede hacer de las dos maneras”.

– Martín (6 años, primer grado) escribe:



700

25

1000

800

32

setecientos

veinticinco

mil

ochocientos

treinta y dos
















8000

200

6000

300

45

ocho mil

doscientos

seis mil

trescientos

cuarenta y cinco

En el último caso, corrige su escritura después de interpretarla y lo hace así: 630045.


–Dan (6 años, primer grado) escribe también 600030045; al igual que Martín, considera incorrecta su escritura, pero la corrige de otra forma: 63045.
–Daniela (5 años, preescolar), que escribe convencionalmente todos los números de dos y tres cifras que le proponemos, y también un número de cuatro cifras (1036), hace algo diferente cuando le pedimos que escriba mil quinientos treinta y seis. Su producción original es: 1000 500 36,

la lee así: mil quinientos treinta y seis

e inmediatamente la corrige: 1000536.

Luego escribe ocho mil quinientos treinta y cuatro: 8 1000 50034, y en seguida rectifica: 8 1000534. Para cuatro mil ciento cuarenta y cinco produce: 4 1000 145.


– Christian –quien, como hemos visto en el punto anterior, escribe convencionalmente cien y mil, pero produce los números comprendidos entre 100 y 110 basado en una hipótesis que le es propia– escribe en forma convencional también un millón (1.000.000). Sin embargo, cuando le solicitamos que escriba otros números, sus producciones son las siguientes:
Mil ciento cinco: 1000 100 5

Dos mil: 2 1000

Diez mil: 10 1000

Cien mil: 100 1000


Al comparar su escritura de cien mil con la de Rubén (100.000), Christian considera posibles las dos escrituras: “Si yo le sacara éste (el 1 de 1000) y pusiera un punto, igual dice cien mil”. Pero en seguida señala: “También sé escribir un millón diez” y escribe: 100000010. “Cuando escribís un millón diez –agrega– no podés sacarle el uno (el de diez), porque no sabés si es ése. Y entonces, ¿cómo adivinás qué número es? No sabés que es diez”. (En otros términos, este uno no puede reemplazarse por un punto, como ocurre con el 1 de 1000 en cien mil).

La hipótesis según la cual la escritura numérica resulta de una correspondencia con la numeración hablada conduce a los niños a producir notaciones no convencionales. ¿Por qué ocurre esto? Porque, a diferencia de la numeración escrita, la numeración hablada no es posicional.

En efecto, si la organización de la numeración hablada fuera posicional, la denominación oral correspondiente a 4705, por ejemplo, sería “cuatro, siete, cero, cinco”; sin embargo, la denominación realmente utilizada para ese número explicita, además de las cifras cuatro, siete y cinco, las potencias de diez correspondientes a esas cifras (cuatro mil setecientos cinco).

Otra cuestión que debe ser tomada en cuenta es la de las operaciones involucradas en la numeración hablada y en la numeración escrita.

En la numeración hablada, la yuxtaposición de palabras supone siempre una operación aritmética, operación que en algunos casos es una suma (mil cuatro significa 1000 + 4, por ejemplo) y en otros una multiplicación (ochocientos significa 8 x 100, por ejemplo). En la denominación de un número, estas dos operaciones aparecen en general combinadas (por ejemplo, cinco mil cuatrocientos significa 5 * 1000 + 4 - *100) y –como para complicarle la existencia a quien intente comprender el sistema– un simple cambio en el orden de enunciación de las palabras indica que ha cambiado la operación aritmética involucrada: cinco mil (5 - 1000) y mil cinco (1000 + 5), seiscientos (6 - 100) y ciento seis (100 + 6). Para colmo de males, la conjunción “y” -que representa lingüísticamente la adición- sólo aparece cuando se trata de reunir decenas y unidades.

Ahora bien, ¿podemos afirmar que las escrituras no convencionales produci as por los chicos son efectivamente aditivas y/o multiplicativas? Cuando ellos escriben doscientos cincuenta y cuatro como 200504, ¿piensan que el valor total de ese número se obtiene sumando 200+50+4?; cuando escriben 4 1000 para cuatro mil, ¿están representando la idea de que el valor total de ese número se obtiene multiplicando 4 * 1000? ¿Comprenden los niños las operaciones que parecen estar involucradas en sus escrituras o bien éstas resultan simplemente del establecimiento de una correspondencia con la numeración hablada?

Nos interesa encontrar respuestas para los interrogantes formulados porque la suma y la multiplicación por las potencias de la base están también involucradas en la numeración escrita convencional. Por lo tanto, si los chicos descubrieran las operaciones implicadas en la numeración hablada, este conocimiento sería relevante para entender cómo funciona la numeración escrita.

La numeración escrita es al mismo tiempo más regular y más hermética que la numeración hablada. Es más regular porque la suma y la multiplicación se aplican siempre de la misma manera: se multiplica cada cifra por la potencia de la base a la que corresponde, se suman los productos resultantes de esa multiplicación. 7 Es más hermética porque en ella no hay ningún rastro de las operaciones aritméticas involucradas y porque –a diferencia de lo que ocurre con la numeración hablada– las potencias de la base no se representan a través de símbolos particulares sino que sólo pueden inferirse a partir de la posición que ocupan las cifras.

Hemos iniciado indagaciones destinadas a responder las preguntas antes planteadas. Los datos recogidos hasta ahora muestran que los chicos que producen notaciones en correspondencia con la numeración hablada pueden haber descubierto o no las relaciones aritméticas subyacentes a ella: mientras que algunos vinculan –por ejemplo– la escritura 200 50 4 a la adición de 200, 50 y 4, otros la justifican apelando exclusivamente a las palabras que constituyen la denominación oral del número representado. Estos resultados –muy insuficientes aún– llevan a suponer una progresión posible desde una simple correspondencia entre el nombre y la notación del número hacia la comprensión de las relaciones aditivas y multiplicativas involucradas en la numeración hablada.

Las escrituras numéricas no convencionales producidas por los niños están hechas entonces a imagen y semejanza de la numeración hablada. Ahora bien, quien adhiere a la escritura no convencional ¿lo hace en forma absoluta o es simultáneamente partidario de la notación convencional?

En las escrituras numéricas realizadas por cada niño en el curso de una entrevista, coexisten modalidades de producción distintas para números ubicados en diferentes intervalos de la serie. En efecto, niños que escriben convencionalmente cualquier número de dos cifras (35, 44, 83, etc.) producen escrituras en correspondencia con la numeración hablada cuando se trata de centenas (10035 para ciento treinta y cinco, 20028 para doscientos veintiocho, etc.). Del mismo modo, niños que escriben convencionalmente números de dos y tres cifras apelan a la correspondencia con lo oral cuando se trata de escribir miles: escriben –por ejemplo– 135, 483 o 942 en forma convencional, pero representan mil veinticinco como 100025 o mil trescientos treinta y dos como 100030032 o 1000332.

Sin embargo, la coexistencia de escrituras convencionales y no convencionales puede aparecer también para números de la misma cantidad de cifras: algunos chicos escriben convencionalmente números entre cien y doscientos (187,174, etc.), pero no generalizan esta modalidad a las otras centenas (y anotan entonces 80094 para ochocientos noventa y cuatro o 90025 para novecientos veinticinco). Por otra parte, muchos niños producen algunas escrituras convencionales y otras que no lo son en el interior de una misma centena o de una misma unidad de mil: 804 (convencional), pero 80045 para ochocientos cuarenta y cinco; 1006 para mil seis, pero 1000324 para mil trescientos veinticuatro.

Señalemos, finalmente, que la relación numeración hablada numeración escrita no es unidireccional: así como la información extraída de la numeración hablada interviene en la conceptualización de la escritura numérica, recíprocamente, los conocimientos elaborados sobre la escritura de los números inciden en los juicios comparativos referidos a la numeración hablada. Veamos, por ejemplo, lo que ocurre con Christian (5 años) al comparar cien mil y mil cien:


Experimentador

Christian

¿Cómo escribirías mil cien?
Cien mil es un número. Mil cien, ¿es otro número?
¿Pero es el mismo número?

Por ejemplo, si yo digo que tengo cien mil australes o mil cien australes, ¿es lo mismo?


¿Y cuándo tengo más? ¿Cuando tengo cien mil o cuando tengo mil cien australes?
¿Y cómo te das cuenta de que mil cien es más?

No, cien mil.

No, es igual. Es al revés.

No, porque está al revés el número.

Cuando tengo mil cien.

Porque en mil cien está el mil primero, y el mil es más grande que el cien.
(Respuestas similares se producen luego al comparar diez mil y mil diez.)

Christian aplica a la numeración hablada un criterio que, como sabemos, ha elaborado para la numeración escrita: “El que manda es el primero”. El razonamiento subyacente al argumento que esgrime parece ser el siguiente: cien mil y mil cien están compuestos los dos por los mismos símbolos –mil y cien (o 1000 y l00)–; para saber cuál es mayor, hay que fijarse en el de adelante. Christian supone que esta regla –válida para la numeración escrita– es válida también para la numeración hablada y es esta suposición de una coherencia mayor que la existente la que lo induce a error.

Evidentemente, no es tarea fácil descubrir qué es lo que está oculto en la numeración hablada y qué es lo que está oculto en la numeración escrita, aceptar que lo uno no coincide siempre con lo otro, detectar cuáles son las informaciones provistas por la numeración hablada que resulta pertinente aplicar a la numeración escrita y cuáles no, descubrir que los principios que rigen la numeración escrita no son directamente trasladables a la numeración hablada...

Y, sin embargo, a pesar de todas estas dificultades inherentes al objeto de conocimiento, los niños se apropian progresivamente de la escritura convencional de los números que antes producían a partir de la correspondencia con la numeración hablada. ¿Cómo lo hacen? Es lo que trataremos de mostrar en el próximo punto.





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