Capítulo V



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La tarea en el aula nos permitió descubrir que no se pasa fácilmente del procedimiento que consiste en sumar reiteradamente diez o cien al procedimiento utilizado por los últimos chicos citados. ¿Por qué? Seguramente porque el segundo supone una comprensión mayor del sistema de numeración. En efecto, para descomponer cuarenta en cuatro “dieces” –cuando se suma, por ejemplo, treinta más cuarenta– es suficiente con saber que cuarenta (como significado) incluye cuatro dieces; en cambio, para afirmar “si tres más cuatro es siete, entonces treinta más cuarenta es setenta” hace falta haber entendido además algo fundamental en relación con los significantes numéricos: que el tres de treinta representa tres dieces y el cuatro de cuarenta se refiere a cuatro dieces.

Estos últimos procedimientos revelan entonces que los chicos han hecho una generalización válida en nuestro sistema de numeración.

Para analizar de cerca en qué consiste esta generalización, apelaremos a un señalamiento de R. Skemp. Este autor hace notar que nuestro sistema de numeración –a diferencia de lo que ocurre con otros, como el romano– utiliza una posibilidad fundamental que ofrecen los números: si se suman –por ejemplo– dos objetos cualesquiera y tres objetos de la misma clase, se obtienen siempre cinco objetos de esa clase, independientemente de que los objetos en cuestión sean elementos singulares, conjuntos o conjuntos de conjuntos. Así, dos medias más tres medias son cinco medias, dos pares de medias más tres pares de medias son cinco pares, dos docenas de pares de medias más tres docenas de pares de medias son cinco docenas... Es por eso que la organización del sistema de numeración autoriza a los chicos a hacer uso de la abstracción 2 + 3 = 5 para deducir que dos “dicces” más tres “dieces” son cinco “dieces”, o que dos “cienes” más tres “cienes” son cinco 11 cienes”. La estructura “si... entonces” empleada por ellos sintetiza con gran precisión relaciones cuya explicitación suele requerir muchas líneas (como ocurre en este artículo).

Resulta evidente entonces que la búsqueda de estrategias más económicas para resolver las operaciones funciona como un motor para descubrir nuevas relaciones involucradas en la notación numérica.

La confrontación de procedimientos abre las puertas para que cada niño pueda entender o al menos comenzar a entender los que utilizan sus compañeros. Es lo que ocurre, por ejemplo, en la situación siguiente.

Al resolver un problema que requiere sumar 50 + 70, aparecen tres procedimientos diferentes, cada uno de los cuales es utilizado por varios chicos. La maestra los anota en el pizarrón e incita a compararlos. Los procedimientos son:

70 + 10 = 80 50 + 50 = 100 70 + 50 = 120

80 + 10 = 90 100 + 20 = 120

90 + 10 = 100

100 + 10 = 110

110 + 10 = 120

Muchos alumnos dicen que el procedimiento de la derecha no está explicado, que se anotó el resultado pero no se sabe cómo se llegó a él. Uno de los chicos que utilizó este último procedimiento explica: '”Yo hice lo mismo que ustedes, ustedes pusieron cinco dieces, acá (señalando los de la izquierda) hay uno, dos, tres, cuatro, cinco dieces, ¿no? Bueno, yo también sume cinco dieces (señala el cinco de 70 + 50), pero los sumé directamente, porque cinco más siete es doce, ¿no?”.

Al propiciar que se establezcan relaciones entre diferentes procedimientos, se hace posible lograr no sólo un acercamiento entre éstos, sino también una mayor comprensión de la naturaleza del sistema de numeración por parte de todos los chicos –tanto de los que explicitan– un procedimiento muy económico como de los que empiezan a vislumbrar la posibilidad de modificar el que utilizaban para adoptar el que sus compañeros proponen.

De este modo, la experiencia didáctica ha mostrado que la búsqueda de procedimientos para resolver operaciones no es sólo una aplicación de lo que los chicos ya saben del sistema, es también el origen de nuevos conocimientos sobre las reglas que rigen la numeración escrita.

Por lo tanto, habrá que poner en marcha todos los recursos posibles para lograr que los chicos que cuentan (o suman) de a uno acerquen su procedimiento al de los que suman de a diez y que éstos progresen hacia estrategias más económicas del tipo si... entonces. La búsqueda de regularidades vinculadas a las operaciones hará posible estos progresos... y algo más.
2.2. Reflexionar sobre las operaciones, descubrir “leyes” “ del sistema de numeración
Los chicos –lo hemos visto– inventan algoritmos propios. Al hacerlo, ponen en juego tanto propiedades de las operaciones como conocimientos implícitos sobre el sistema de numeración. Explicitarlos es un paso necesario para descubrir leyes que rigen el sistema.

Un procedimiento muy popular es sumar reiteradamente diez o cien. Estudiar lo que ocurre cuando se realizan estas sumas –comparando el primer término con el resultado– permite establecer regularidades referidas a lo que cambia y lo que se conserva.

“En una casa de artículos para el hogar –les contamos a los chicos– aumentaron 10 pesos todos los precios. Esta es la lista de los precios viejos, pongamos al lado los nuevos.” Cada niño resuelve la situación planteada: mientras que algunos anotan rápidamente el resultado, otros cuentan de a uno cada vez que suman diez. Una vez que, en pequeños grupos, se confronta y se corrige, se reproduce la lista en el pizarrón. Ha llegado entonces el momento de analizar cómo se transforman los números cuando se les suma diez.

Al comparar los precios originales (12, 43, 51, 82, 25, 36... por ejemplo) con los nuevos correspondientes (22, 53, 61 ... ), los chicos formulan reglas como las siguientes: “Siempre que agregás diez, te queda más”; “Los números de adelante cambian por un número más en la escalera y los de atrás siguen iguales”. A lo largo del tiempo y a través de las actividades que se realicen, esta última ley se irá reformulando, hasta adoptar más o menos esta forma: “E1 que cambia por el que sigue es el de los dieces, porque vos sumaste diez; el otro queda igual”.

Una actividad similar puede hacerse suministrando como dato los nuevos precios y solicitando que se averigüen los viejos. Las regularidades que en este caso se establecerán estarán referidas, por supuesto, a las transformaciones que se producen cuando se resta diez.

Contar de a diez –por ejemplo los billetes del “banco”– y anotar lo que se va contando, armar listas de precios en números “redondos” (los nudos de las decenas) que han aumentado o rebajado diez pesos, comparar los cambios que se producen en los números cuando se suma (o se resta) uno y cuando se suma (o se resta) diez... son situaciones útiles para todos, y en particular para los que aún se aferran al conteo de uno en uno.

Otra perspectiva posible para analizar la misma cuestión es la que se adopta en una actividad como la siguiente:

“Los empleados de una biblioteca estaban haciendo un inventario para saber cuántos libros había. Varios de ellos contaban los libros existentes en las diferentes secciones e iban anotando las cantidades obtenidas. Algunas de sus anotaciones eran:




Pedro

Juan

Marta

Pablo

Rosaura

20

40

40

45

3

22

45

50

50

6

24

50

60

55

9





















36

80

120

115

69




  • ¿Cómo contaba cada uno de los empleados?

  • - ¿Cómo hiciste para averiguarlo?

  • ¿Podríamos darnos cuenta de la forma en que contaban sin calcular nada, limitándonos a observar los números?

  • - ¿Cómo seguirán los apuntes de cada uno de los empleados?”

Esta actividad, a diferencia de las anteriores, exige que los chicos se centren en las representaciones numéricas, puesto que es a partir de ellas como podrán descubrir las operaciones involucradas en cada serie.

Una tercera perspectiva puede introducirse planteando situaciones como ésta:


“Pablo estaba leyendo un artículo en la página 25 del diario. Cuando llegó al final de la página, se encontró con una notita que decía 'continúa en la página 35’ ¿Cuántas páginas tuvo que pasar Pablo? ¿Cómo te diste cuenta? ¿Qué otros datos se podrían poner en el problema sin cambiar la cantidad de páginas que Pablo tuvo que pasar para continuar leyendo el artículo?”
La última pregunta es lo que distingue esta actividad de las anteriores: se trata ahora de producir pares de números cuya diferencia es diez y ya no de inferir la transformación operada entre números dados.

Por otra parte, será interesante proponer problemas que permitan analizar las transformaciones que se producen en las notaciones numéricas al sumar o restar otras cantidades “redondas”. Planteamos un ejemplo:

“En un videoclub que acaba de abrir hay 13 películas. Cada semana, los dueños compran diez películas más. ¿Cuántas tendrán a las tres semanas? ¿Ya las ocho semanas? ¿Ya las diez semanas?

Otro videoclub procedió de la misma manera, pero tenía originalmente 38 vídeos. ¿Cuántos tendrá tres, ocho y diez semanas después?

En un tercer videoclub, compraron también diez vídeos por semana y al final de la quinta semana tenían 84 vídeos. ¿Cuántos tenían al principio?”

Este problema apunta a establecer regularidades como “sumar directamente treinta produce el mismo resultado que sumar tres veces diez”, “sumar directamente ochenta es lo mismo que sumar ocho veces diez”, “restar cinco veces diez da lo mismo que restar de una vez cincuenta”. Al centrar la comparación en los estados iniciales y los resultados correspondientes, será posible establecer reglas como “cuando sumo treinta, tengo que agregar tres dieces más a los dieces que hay”, “si querés sumar ochenta, lo que tenés que hacer es agregarle ocho dieces a los que ya tenés”, “cuando sumamos ochenta, a veces el resultado tiene tres números y a veces tiene dos”. Estas “leyes” que formulan los chicos desembocarán en el reconocimiento general de una regularidad que había llegado al aula de la mano de algunos niños como explicación de uno de los procedimientos que utilizaban para resolver operaciones: “Si –por ejemplo– uno más ocho es nueve, entonces un diez más ocho dieces son nueve dieces, es noventa”.

La reflexión sobre los aspectos multiplicativos involucrados en la notación numérica se hace posible también a partir de un juego con dados: se establece que cada punto vale diez, los chicos –organizados en grupos– arrojan el dado por turno y anotan el puntaje que obtuvieron.

En el desarrollo del juego, aparecen diversos procedimientos: algunos cuentan con los dedos hasta diez mientras señalan un punto del dado, luego señalan el segundo punto y siguen contando hasta veinte ... ; otros chicos cuentan de diez en diez, otros dan el resultado de inmediato sin evidenciar cómo hicieron para encontrarlo.

Después de varios partidos, la maestra pregunta: “Cuando salen cuatro puntos, ¿ustedes qué anotan?''. Hace preguntas similares para otros números que aparecieron en el juego y luego las extiende a otros casos posibles.

Maestra: ¿Cómo se dan cuenta?

Fernanda: Y.., porque si al 8 le pongo un 0 es 80, si le agregás al 9 un 0, te queda 90, es todo lo mismo.

Maestra: Miren: si sacan 4, ustedes se dan cuenta de que es 40 (escribe los números), pero ¿qué tiene que ver el 4 con el 40?

Leo: Acá con cuatro cosas y acá cuarenta cosas.

Maestra: Pero el 40 también tiene un 4. ¿Por qué hay un 4 en el 40;

Giselle: Porque acá (40) son cuatro de diez.

Miguel: Si contás de diez en diez, con cuatro de diez ya es cuarenta, por eso va 4 (en 40).

Las intervenciones de la maestra tienden a lograr que los chicos reflexionen acerca de la función multiplicativa de 4 en la notación 40 (4 x 10) y la relacionen con la interpretación aditiva de ese número (10 + 10 + 10 + 10).

Es así como se hace posible –en esta actividad y en muchas otras– utilizar la situación de sumar o restar reiteradamente diez como vía de acceso a una mayor comprensión del valor posicional.

Actividades similares a las que hemos descrito pueden proponerse en relación con la suma o la resta de cien. En este caso, compiten dos candidatos privilegiados: los billetes y la numeración de las calles.

Pueden plantearse, por ejemplo, problemas como los siguientes: “¿Cuántas cuadras hay que caminar para ir de Rivadavia al 700 a Rivadavia al 1000?, ¿y para ir del 1700 al 2000?, ¿y del 2700 al 3000?”, “Martín y Pablo viven en la calle Corrientes. Martín vive al 500 y camina cuatro cuadras para llegar a la casa de Pablo; ¿a qué altura vive Pablo?”, Florencia y Lorena viven en la calle Córdoba. Para visitarse tienen que caminar diez cuadras, ¿a qué altura de Córdoba está la casa de cada una de ellas? (encontrar por lo menos diez posibilidades) “.

La comparación de diferentes situaciones conducirá a establecer regularidades también para el caso de los “cienes” a contrastarlas con las ya establecidas para los “dieces”, a continuar reflexionando sobre la organización del sistema de numeración.

La calculadora puede contribuir a la reflexión sobre la estructura aditiva de la numeración hablada y su vinculación con las reglas de la numeración escrita si se la utiliza, por ejemplo, de la siguiente manera: la maestra dicta un número que los niños marcan en la calculadora y luego pregunta qué hay que hacer para que aparezca un cero en lugar de alguna (o algunas) de las cifras que constituyen el número.

Al realizar esta actividad en un segundo grado, se dictó en primer término 9815 y se preguntó qué orden había que dar para que el resultado fuera 9015. Muchos restaron primero ocho, luego ochenta y sólo después ochocientos, en tanto que otros hicieron directamente la resta correcta. Cuando se discutió la cuestión en grupo, todos sabían ya que había que restar 800, puesto que las otras soluciones –restar 8 o restar 80– habían sido descartadas por conducir a un resultado diferente del buscado. Cuando la maestra pidió que explicaran cómo se habían dado cuenta de que había que restar ochocientos y no ocho u ochenta, Francisco respondió: “Vos podés restar así (9815 - 15), y eso te da nueve mil ochocientos; ahí ya te ayudás un poquito, ¿no?, entonces ya sabés que son ochocientos”.

Luego se dictó 9268 y se pidió a los chicos que hicieran algo para obtener como resultado 9208. Nuevamente, algunos restaron primero seis y sólo después sesenta, en tanto que otros hicieron de entrada esta última resta. Durante la discusión, todo el mundo estaba de acuerdo en que había que restar sesenta, pero justificarlo no era tan fácil. Francisco ofreció una explicación inesperada: “Se junta el seis que hay en el número que pusiste con el cero que hay que tener en el resultado y es sesenta”. Tali preguntó: “¿Pero vos cómo sabías desde antes que tenías que sacar sesenta?”. Hubo dos respuestas: la de Patricio fue “Porque es nueve mil doscientos sesenta y ocho, entonces tengo que sacar sesenta, no seis”; la de Jenny fue “Hay que sacar sesenta, porque cuando uno lee el número no lee ni seiscientos ni seis, lee sesenta”.

Fue instructivo descubrir que los argumentos de los chicos estaban exclusivamente basados en la numeración hablada y que ninguno de ellos –ni siquiera los que en otros casos suministraban justificaciones del tipo “si... entonces”– apelaba aquí al valor posicional. Decidimos entonces plantear otras situaciones de este tipo y, al comparar casos en que, para un mismo número, el cero del resultado aparecía ubicado en diferentes lugares –por ejemplo, determinar cuáles son las órdenes que hay que dar a la calculadora para transformar 6275 en 6075, 6205 y 6270–, los chicos comenzaron a tomar conciencia de que en ciertos casos había que restar cienes; en otros, dieces; en otros, unidades. La cuestión se aclaró aún más cuando propusimos partir de números como 4444 o 7777 y cuando comparamos muchos casos diferentes en los cuales se trataba de obtener un cero ubicado en un lugar determinado.

La calculadora es un instrumento valioso para la realización de estas actividades, ya que hace posible que cada chico detecte por sí mismo cuándo está en lo cierto y cuándo se ha equivocado, autocorrija sus errores y empiece a plantearse la necesidad de buscar una regla que le permita anticipar la operación que efectivamente permite llegar al resultado buscado.

En síntesis, reflexionar sobre la vinculación entre las operaciones aritméticas y el sistema de numeración conduce a formular “leyes” cuyo conocimiento permitirá elaborar procedimientos más económicos. Y hace posible algo más: preguntarse por las razones de esas regularidades, buscar respuestas en la organización del sistema, comenzar a develar aquello que está más oculto en la numeración escrita.


Instantáneas del trabajo en el aula
La maestra de primer grado propone una escritura no convencional –inspirada en las producidas por sus alumnos hasta muy poco tiempo antes–; al elaborar argumentos para rechazarla, los chicos analizan la relación numeración hablada-numeración escrita (para los números comprendidos entre diez y veinte).

En una situación incidental, surge la necesidad de anotar el número diecinueve. Micaela pasa al pizarrón y lo escribe convencionalmente.



Maestra: ¿Qué les parece?, ¿es así el diecinueve?

Niños: (asienten).

Maestra: A mí me contaron unos nenes de otra escuela que se podría escribir así: 109. ¿A ustedes qué les parece?

Román: A mí me parece que ese número es del cien...

Juan Alberto- ¡No!, ¡ése no es! ¿No te das cuenta de que el diecinueve es el otro? ¿No te das cuenta de que decís diez y nueve?

Maestra: Pero, ¿dónde está el diez aquí? (señala 19).

Gusty: No está en ninguna parte.

Vero- ¡Sí! éstá abajo del nueve.

Román: El uno significa diez, lo que pasa es que no podés escribir un 10 a cada número porque... ¡Sería cualquier cosa!

Maestra: ¿Y en el diecisiete? (Lo escribe en el pizarrón de manera convencional.)

Juan Alberto: Lo que yo te digo pasa con todos los números: con el dieciséis, con el diecisiete, el dieciocho, el diecinueve...

Diego- Cuando vos decís diecisiete suena un poco diez y siete, pero no se escribe el diez y el siete.

María: Pero..., no decimos diez y siete (lo dice acentuando la separación), lo decimos todo junto.

Maestra: Y con el quince sucede igual que con el dieciséis, el diez y siete...

Vero: Sí, porque si le sacás cinco, quedan diez.
La maestra aporta un contraejemplo; los chicos se ven obligados a precisar sus afirmaciones.

Alguien escribió 35, todos lo interpretaron correctamente.



Maestra: ¿Cómo se dan cuenta de que es el treinta y cinco?

Un alumno: Porque empieza con tres.

Otro niño: Porque cuando digo treinta y cinco, sé que empieza con tres... tres... treinnn... treinta.

Otro niño: Porque diez y diez y diez son treinta, hay tres de diez.

La maestra escribe entonces 366 en el pizarrón y pregunta:



Maestra: ¿Y este número cuál es:! También empieza con tres.

Un chico: No, ése no es de los treinta aunque empiece con tres. Es de la familia de los cien porque tiene tres números, pero no sé...
La maestra pone en duda las afirmaciones correctas de sus alumnos, éstos responden explicitando más claramente lo que saben acerca del sistema.

Los chicos de segundo grado dictan “ciento treinta y tres” y dicen: “Es con un uno, un tres y un tres”.



Maestra: ¿Cómo?, ¿con dos tres?

Un niño: Bueno, es que los dos son el número tres, pero valen diferente.

Maestra: ¿Cómo puede ser que el mismo número valga diferente? ¿Cómo vamos a entender así?

Otro niño: Mirá, los números son siempre el tres, pero hay distintos tres. Anotá así: tres, tres, tres. Es el trescientos treinta y tres, ¿no? Hay un tres que es tres, el segundo que es treinta y el otro es tres de ciento”.

Maestra: ¿Siempre pasa así?

Otro alumno: Sí... Con el 555 también, el del medio es cincuenta.

Maestra: Yo no veo ningún cincuenta ahí.

Varios- ¡No!, ¡porque está el otro cinco! Si no está, le ponés cero;

pero si está el cinco es cincuenta y cinco.


Dos observaciones son necesarias acerca del conjunto de actividades que hemos propuesto.

En primer lugar, las situaciones relacionadas con el orden y las vinculadas a las operaciones se van desarrollando de forma simultánea, ya que la decisión de poner en primer plano en el aula el funcionamiento del sistema de numeración así lo exige. Cada categoría de situaciones constituye un ámbito en el cual se pone de relieve algún aspecto particular de la numeración escrita. Los aprendizajes que se realizan en estos diferentes ámbitos van conformando una trama a partir de la cual los chicos organizan y reorganizan su conocimiento acerca del sistema. Optar por abordar en el aula el sistema de numeración en toda su complejidad significa también enfrentar un alto grado de complejidad didáctica.

En segundo lugar, existe un parentesco entre algunas de las situaciones propuestas y actividades muy tradicionales en la escuela: llenar cheques supone escribir cantidades en números y en palabras, descomponer los términos para sumar o restar lleva a producir escrituras (como 386 = 300 + 80 + 6) que evocan los “ejercicios de descomposición”, dictar números se parece mucho... al dictado de números (!).

Sin embargo, el parentesco no es tan cercano. Cuando se trata de llenar cheques, el pasaje de las cifras a la escritura con palabras (o viceversa) aparece en el marco de una situación donde cobra sentido: por una parte, el soporte utilizado requiere efectivamente –para evitar ambigüedades– la doble escritura del número; por otra parte, la actividad se orienta hacia la discusión de las producciones o interpretaciones realizadas por los chicos. Hacia este último objetivo apuntamos también al dictar números: lo esperado es que las producciones reflejen diferentes conceptualizaciones y constituyan –por lo tanto– el punto de partida para la confrontación, para el intercambio de información, para el acercamiento progresivo a la escritura convencional. Finalmente, la descomposición decimal de números –lejos de constituir la consigna alrededor de la cual se organiza la actividad– es una herramienta que los chicos elaboran para resolver ciertos problemas.

Lo que importa entonces no es que una actividad esté catalogada como “tradicional” o “innovadora”; lo que importa es que las propuestas de trabajo reúnan ciertas condiciones: partir de los problemas que plantea el uso de la numeración escrita, contemplar diferentes procedimientos, admitir diferentes respuestas, generar algún aprendizaje sobre el sistema en todos los miembros del grupo, favorecer el debate y la circulación de información, garantizar la interacción con la numeración escrita convencional, propiciar una autonomía creciente en la búsqueda de información, acercar –en la medida de lo posible– el uso escolar al uso social de la notación numérica.
Intercambiar mensajes
A partir de los cheques, se deriva otra actividad: mientras un grupito hace una lista de números escritos con cifras, otro hace su lista escribiendo con palabras los nombres de los números. Luego, intercambian sus mensajes: el grupo que recibe números escritos con cifras debe anotar el nombre de cada uno, el que recibe los nombres debe anotar en cifras los números correspondientes.

Resulta sugestiva la diferencia existente entre los números elegidos por los chicos de lº grado y los propuestos por los de segundo:




Preguntas otra vez
“Había que encontrar una respuesta”, señalamos al comenzar este artículo. Ahora, muy cerca del final, se hacen presentes las nuevas preguntas. Nuestro propio juego de preguntas y respuestas nos alienta a seguir indagando.

Si la diversidad es tan marcada ya no de un grupo a otro, sino dentro de cada grupo, ¿cómo establecer límites que tengan validez general entre el trabajo que se realiza en primer grado y el que se lleva a cabo en segundo o en tercero?, ¿cómo definir cuáles son los saberes que se consideran patrimonio de todos en un momento dado?, ¿qué otras estrategias implementar para ayudar a los niños a abandonar procedimientos poco económicos y progresar hacia aquellos que suponen conceptualizaciones más profundas?

Sabemos que haber establecido regularidades en el sistema es una condición necesaria para que resulte significativo interrogarse acerca de las razones que las fundamentan. ¿Podrá establecerse una relación como ésta entre otras adquisiciones?, ¿cuáles?

Los chicos encontraron “leyes” que no habíamos previsto, ¿habrá otras cuyo descubrimiento podría contribuir al progreso de la conceptualización” ¿Qué nuevos problemas es necesario incluir en nuestra propuesta para garantizar que los chicos transiten con éxito hacia la comprensión del sistema?

Las preguntas nos llevan otra vez al aula. Porque aprendemos al compartir el trabajo con maestros y chicos, enfrentaremos el desafío de seguir buscando. Cuando encontremos alguna respuesta tendrá sentido emprender el próximo capítulo.

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Skemp, R. (1985): Psicología del aprendizaje de las matemáticas, Madrid, Ediciones Morata.


1 Entrevistamos a 50 niños; los integrantes de cada pareja pertenecían al mismo grado o sección.

2 Cuando los niños conocen el nombre de los números que están comparando, justifican sus afirmaciones apelando no sólo a la cantidad de cifras sino también al lugar que ocupan en la serie numérica oral: “12 es mayor por que tiene más números atrás, porque 6 para abajo tiene menos atrás” (Alan) .

3 La información que tenemos sobre el proceso de generalización es aun insuficiente: no todos nuestros entrevistados tuvieron la oportunidad de comparar números de tres o más cifras, porque esta cuestión se planteó sólo en ciertos casos, en función de las respuestas que los niños suministraban.

4 Esta es una de las cuestiones que será necesario seguir investigando.

5 Cuando se entrevistó a Christian, los australes estaban aún en curso.

6 Aunque el recurso que utiliza Christian pueda parecer exótico, tal vez resulte más pertinente si se recuerda que otros sistemas de numeración –como por ejemplo el romano– han apelado a grafías del mismo tipo para diferenciar números (V y).

7 4815 = 4 -103 + 8. 102 + 1.101 + 5. 100

8 Entendemos que cuando los chicos producen una escritura como 1000500 (1500), están usando 1000 y 500 como “símbolos originales”.

9 Actualmente estamos intentando establecer cómo y cuándo descubren los niños esta característica de nuestro sistema.

10 Si se trata –por ejemplo- de sumar 33 y 35, un procedimiento posible sería: 80 + 10 = 90; 90 + 10 = 100; 100 + 10 = 110; 110 + 8 = 118.

11 Nótese que es necesario elegir los números de tal modo que efectivamente permitan movilizar los criterios en cuestión.


12 Los llamamos así porque, si bien no reúnen todas las condiciones de los proyectos, cumplen algunas que resultan esenciales: dan lugar a múltiples actividades que se organizan alrededor de un eje común y se desarrollan durante un período más o menos prolongado (alrededor de dos o tres meses).

13 Citamos aquí, entre las muchas intervenciones posibles, sólo aquellas que se relacionan con el sistema de numeración.


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